Номер 374, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 374, страница 113.

Условие.

374 Построить график функции:

1) $y = \log_4 x;$ 2) $y = \log_{\frac{1}{4}} x.$

Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях $x$ каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \log_4 x$

Для построения графика функции $y = \log_4 x$ определим ее основные свойства и найдем несколько ключевых точек.

Свойства функции:

— Область определения функции (ОДЗ): $x > 0$.

— График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$, так как $\log_4 1 = 0$.

— Ось ординат ($x=0$) является вертикальной асимптотой для графика функции.

— Так как основание логарифма $a = 4 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.

Ключевые точки для построения графика:

— при $x = 1/4$, $y = \log_4(1/4) = -1$; точка $(1/4, -1)$.

— при $x = 1$, $y = \log_4(1) = 0$; точка $(1, 0)$.

— при $x = 4$, $y = \log_4(4) = 1$; точка $(4, 1)$.

— при $x = 16$, $y = \log_4(16) = 2$; точка $(16, 2)$.

График функции представляет собой кривую, которая проходит через вычисленные точки, плавно возрастает и асимптотически приближается к оси $y$ при $x \to 0^+$.

Анализ функции:

— Возрастание/убывание: Функция $y = \log_4 x$ является возрастающей, так как ее основание $4 > 1$.

— Положительные значения ($y > 0$): Решим неравенство $\log_4 x > 0$. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства сохраняется: $x > 4^0$, что дает $x > 1$.

— Отрицательные значения ($y < 0$): Решим неравенство $\log_4 x < 0$. Знак неравенства сохраняется: $x < 4^0$, то есть $x < 1$. С учетом области определения ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.

— Значения, равные нулю ($y = 0$): Решим уравнение $\log_4 x = 0$. По определению логарифма, $x = 4^0$, то есть $x = 1$.

Ответ: Функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Она принимает положительные значения при $x \in (1, +\infty)$, отрицательные значения при $x \in (0, 1)$ и равна нулю при $x=1$.

2) $y = \log_{\frac{1}{4}} x$

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ определим ее свойства и найдем ключевые точки.

Свойства функции:

— Область определения функции (ОДЗ): $x > 0$.

— График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$.

— Ось ординат ($x=0$) является вертикальной асимптотой для графика функции.

— Так как основание логарифма $a = 1/4$ и $0 < 1/4 < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

— Заметим, что $\log_{\frac{1}{4}} x = \log_{4^{-1}} x = -\log_4 x$. Это означает, что график функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ симметричен графику $y=\log_4 x$ относительно оси абсцисс.

Ключевые точки для построения графика:

— при $x = 1/16$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1/16) = 2$; точка $(1/16, 2)$.

— при $x = 1/4$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1/4) = 1$; точка $(1/4, 1)$.

— при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1) = 0$; точка $(1, 0)$.

— при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(4) = -1$; точка $(4, -1)$.

График функции представляет собой кривую, которая проходит через вычисленные точки, плавно убывает и асимптотически приближается к оси $y$ при $x \to 0^+$.

Анализ функции:

— Возрастание/убывание: Функция $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ является убывающей, так как ее основание $0 < 1/4 < 1$.

— Положительные значения ($y > 0$): Решим неравенство $\log_{\frac{1}{4}} x > 0$. Поскольку основание логарифма меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный: $x < (\frac{1}{4})^0$, то есть $x < 1$. С учетом области определения ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.

— Отрицательные значения ($y < 0$): Решим неравенство $\log_{\frac{1}{4}} x < 0$. Знак неравенства меняется: $x > (\frac{1}{4})^0$, что дает $x > 1$.

— Значения, равные нулю ($y = 0$): Решим уравнение $\log_{\frac{1}{4}} x = 0$. По определению логарифма, $x = (\frac{1}{4})^0$, то есть $x = 1$.

Ответ: Функция $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ является убывающей. Она принимает положительные значения при $x \in (0, 1)$, отрицательные значения при $x \in (1, +\infty)$ и равна нулю при $x=1$.