Номер 381, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 381, страница 114.

Условие.

Решить неравенство (381—383).

381

1) $\log_2 (x - 5) \le 2;$

2) $\log_3 (7 - x) > 1;$

3) $\log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > -2;$

4) $\log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < -3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_2 (x - 5) \le 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - 5 > 0$
$x > 5$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2:
$2 = \log_2 (2^2) = \log_2 4$
Подставим это в исходное неравенство:
$\log_2 (x - 5) \le \log_2 4$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и знак неравенства сохраняется:
$x - 5 \le 4$
$x \le 9$

Объединим полученное решение с ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} x > 5 \\ x \le 9 \end{cases}$
Решением системы является интервал $5 < x \le 9$.

Ответ: $(5, 9]$

2) $\log_3 (7 - x) > 1$

Найдем ОДЗ:
$7 - x > 0$
$x < 7$

Решим неравенство. Представим $1$ в виде логарифма по основанию $3$:
$1 = \log_3 (3^1) = \log_3 3$
Неравенство принимает вид:
$\log_3 (7 - x) > \log_3 3$

Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$7 - x > 3$
$-x > 3 - 7$
$-x > -4$
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < 4$

Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 7 \\ x < 4 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x < 4$.

Ответ: $(-\infty, 4)$

3) $\log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > -2$

Найдем ОДЗ:
$2x + 1 > 0$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$

Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{\frac{1}{2}} (2^2) = \log_{\frac{1}{2}} 4$
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > \log_{\frac{1}{2}} 4$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$2x + 1 < 4$
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$

Объединим решение с ОДЗ в систему:
$\begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x < \frac{3}{2} \end{cases}$
Решением является интервал $-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

4) $\log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < -3$

Найдем ОДЗ:
$3 - 5x > 0$
$3 > 5x$
$x < \frac{3}{5}$

Решим неравенство. Представим $-3$ как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$:
$-3 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$
Получаем неравенство:
$\log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < \log_{\frac{1}{2}} 8$

Основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - 5x > 8$
$-5x > 8 - 3$
$-5x > 5$
Разделим обе части на $-5$, изменив знак неравенства:
$x < -1$

Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < \frac{3}{5} \\ x < -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x < -1$.

Ответ: $(-\infty, -1)$