Номер 375, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 375, страница 113.

Условие.

375 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1) $y = \log_{0,2} x$;

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x$;

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x$;

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения, является ли логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей.

1) $y = \log_{0,2} x$
Основание логарифма $a = 0,2$. Поскольку $0 < 0,2 < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x$
Основание логарифма $a = \sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то и $\sqrt{5} > 1$. Следовательно, основание больше единицы, и функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x$
Основание логарифма $a = \frac{1}{e}$. Число $e$ (число Эйлера) — это иррациональная константа, приблизительно равная $2,718$. Так как $e > 1$, то его обратное значение $\frac{1}{e}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{1}{e} < 1$. Следовательно, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$
Основание логарифма $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Чтобы сравнить это значение с единицей, сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Возведя оба числа в квадрат, получаем $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$, а значит $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Поскольку основание также положительно, $0 < a < 1$, и функция является убывающей.
Ответ: убывающая.