Номер 3, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Проверь себя к главе 4 - номер 3, страница 114.

Условие.

3 Сравнить числа:

1) $log_{0.2} 3$ и $log_{0.2} 2.5$;

2) $log_2 0.7$ и $log_2 1.2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1)

Для сравнения чисел $\log_{0.2} 3$ и $\log_{0.2} 2.5$ необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном случае основание логарифмов $a = 0.2$.

Поскольку основание $a = 0.2$ находится в интервале $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0.2} x$ является убывающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $\log_{0.2} x_1 < \log_{0.2} x_2$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Теперь сравним аргументы данных нам логарифмов: $3$ и $2.5$.
Очевидно, что $3 > 2.5$.

Так как функция является убывающей, то из неравенства для аргументов $3 > 2.5$ следует обратное неравенство для значений логарифмов: $\log_{0.2} 3 < \log_{0.2} 2.5$.

Ответ: $\log_{0.2} 3 < \log_{0.2} 2.5$.

2)

Для сравнения чисел $\log_2 0.7$ и $\log_2 1.2$ мы также используем свойства логарифмической функции. Основание этих логарифмов $a = 2$.

Поскольку основание $a = 2$ больше единицы ($a > 1$), логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $\log_2 x_1 > \log_2 x_2$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Сравним аргументы данных логарифмов: $0.7$ и $1.2$.
Очевидно, что $0.7 < 1.2$.

Так как функция является возрастающей, то знак неравенства для логарифмов сохраняется таким же, как и для их аргументов: $\log_2 0.7 < \log_2 1.2$.

Ответ: $\log_2 0.7 < \log_2 1.2$.