Номер 387, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 387, страница 115.

Условие.

387 Вычислить $log_{36} 15$ с точностью до $0,001$, зная, что $lg 3 \approx 0,4771$, $lg 5 \approx 0,6990$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления значения $\log_{36} 15$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В качестве нового основания выберем 10, так как в условии даны значения десятичных логарифмов ($\lg$):

$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$

В нашем случае $a=15$, $b=36$, $c=10$. Формула принимает вид:

$\log_{36} 15 = \frac{\lg 15}{\lg 36}$

Теперь найдем значения числителя и знаменателя, используя данные в условии $\lg 3 \approx 0,4771$ и $\lg 5 \approx 0,6990$.

1. Вычислим числитель $\lg 15$:

Представим 15 как произведение $3 \cdot 5$ и воспользуемся свойством логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$:

$\lg 15 = \lg(3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5$

Подставим известные значения:

$\lg 15 \approx 0,4771 + 0,6990 = 1,1761$

2. Вычислим знаменатель $\lg 36$:

Представим 36 как $6^2$ и воспользуемся свойством логарифма степени $\lg(x^n) = n \lg x$:

$\lg 36 = \lg(6^2) = 2 \lg 6$

Далее представим 6 как $2 \cdot 3$:

$\lg 36 = 2 \lg(2 \cdot 3) = 2(\lg 2 + \lg 3)$

Нам неизвестно значение $\lg 2$, но мы можем его выразить через $\lg 5$, используя свойство $\lg 10 = 1$:

$\lg 2 = \lg(\frac{10}{5}) = \lg 10 - \lg 5 = 1 - \lg 5$

Подставим значение $\lg 5$:

$\lg 2 \approx 1 - 0,6990 = 0,3010$

Теперь мы можем вычислить $\lg 36$:

$\lg 36 \approx 2(0,3010 + 0,4771) = 2(0,7781) = 1,5562$

3. Найдем итоговое значение:

Подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходную формулу:

$\log_{36} 15 \approx \frac{1,1761}{1,5562}$

Выполним деление:

$\frac{1,1761}{1,5562} \approx 0,755751...$

Согласно условию, результат нужно округлить с точностью до 0,001, то есть до трёх знаков после запятой. Четвертая цифра после запятой равна 7, поэтому округляем третью цифру в большую сторону.

$0,755751... \approx 0,756$

Ответ: 0,756