Номер 394, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 394, страница 115.

Условие.

394 1) $\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1;$

2) $\frac{1}{2} \log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. Для всех логарифмов в уравнении ($x$, $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$) это сводится к условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Приведем все логарифмы к одному основанию $x$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{\frac{1}{x}} 5 = \log_{x^{-1}} 5 = (-1)\log_x 5 = -\log_x 5$
$\log_{\frac{1}{x^2}} 12 = \log_{x^{-2}} 12 = -\frac{1}{2}\log_x 12$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$-\log_x 5 - \frac{1}{2} \log_x 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1$

Умножим обе части уравнения на -2 для упрощения:
$2 \log_x 5 + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$

Теперь используем свойства логарифмов ($n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$), чтобы объединить слагаемые:
$\log_x 5^2 + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$
$\log_x (25 \cdot 12) - \log_x 3 = -2$
$\log_x \left(\frac{25 \cdot 12}{3}\right) = -2$
$\log_x (25 \cdot 4) = -2$
$\log_x 100 = -2$

По определению логарифма ($a^c=b \iff \log_a b = c$), получаем:
$x^{-2} = 100$
$\frac{1}{x^2} = 100$
$x^2 = \frac{1}{100}$
$x = \pm\frac{1}{10}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$). Корень $x = -\frac{1}{10}$ не подходит, так как он отрицательный. Корень $x=\frac{1}{10}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{10}$.

2) $\frac{1}{2} \log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1$

ОДЗ для этого уравнения такое же, как и в предыдущем: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Приведем все логарифмы к основанию $x$:
$\log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 = \log_{x^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2}\log_x 3 = -2\log_x 3$
$\log_{x^2} 28 = \frac{1}{2}\log_x 28$

Подставим полученные выражения в уравнение:
$\frac{1}{2} \log_x 7 - (-2\log_x 3) - \frac{1}{2}\log_x 28 = 1$
$\frac{1}{2} \log_x 7 + 2\log_x 3 - \frac{1}{2}\log_x 28 = 1$

Умножим обе части уравнения на 2:
$\log_x 7 + 4\log_x 3 - \log_x 28 = 2$

Объединим логарифмы, используя их свойства:
$\log_x 7 + \log_x 3^4 - \log_x 28 = 2$
$\log_x \left(\frac{7 \cdot 3^4}{28}\right) = 2$
$\log_x \left(\frac{7 \cdot 81}{28}\right) = 2$
$\log_x \left(\frac{81}{4}\right) = 2$

Из определения логарифма следует:
$x^2 = \frac{81}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{81}{4}} = \pm\frac{9}{2}$

Сверяем с ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$). Корень $x = -\frac{9}{2}$ не подходит. Корень $x = \frac{9}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{9}{2}$.