Номер 389, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 4. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 389, страница 115.

389 Решить графически уравнение:

1) $\log_3 x = \frac{3}{x}$;

2) $2^x = \log_{\frac{1}{2}} x$.

1) $ \log_3 x = \frac{3}{x} $

Чтобы решить данное уравнение графически, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $ y = \log_3 x $ и $ y = \frac{3}{x} $. Абсцисса(ы) точек пересечения этих графиков и будет(ут) решением(ями) уравнения.

1. Построим график функции $ y = \log_3 x $. Это логарифмическая функция с основанием 3. Она определена при $ x > 0 $ и является возрастающей. График проходит через ключевые точки:

• Если $ x=1 $, то $ y = \log_3 1 = 0 $. Точка (1, 0).
• Если $ x=3 $, то $ y = \log_3 3 = 1 $. Точка (3, 1).
• Если $ x=9 $, то $ y = \log_3 9 = 2 $. Точка (9, 2).

2. Построим график функции $ y = \frac{3}{x} $. Это гипербола. Так как область определения логарифма $ x > 0 $, нас интересует только ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Эта функция является убывающей при $ x > 0 $. График проходит через ключевые точки:

• Если $ x=1 $, то $ y = \frac{3}{1} = 3 $. Точка (1, 3).
• Если $ x=3 $, то $ y = \frac{3}{3} = 1 $. Точка (3, 1).
• Если $ x=9 $, то $ y = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $. Точка (9, 1/3).

При построении графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются. Из анализа ключевых точек видно, что оба графика проходят через точку (3, 1).

Проверим, является ли $ x=3 $ решением уравнения:
Левая часть: $ \log_3 3 = 1 $.
Правая часть: $ \frac{3}{3} = 1 $.
$ 1 = 1 $, равенство верное.

Поскольку на всей области определения ($ x > 0 $) функция $ y = \log_3 x $ является строго возрастающей, а функция $ y = \frac{3}{x} $ — строго убывающей, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, $ x=3 $ — единственное решение уравнения.

Ответ: $ x=3 $

2) $ 2^x = \log_{\frac{1}{2}} x $

Для решения этого уравнения построим графики функций $ y = 2^x $ и $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ и найдем абсциссу их точки пересечения.

1. График функции $ y = 2^x $ — это показательная функция. Она определена для всех $ x $, всегда положительна и является строго возрастающей. Ключевые точки: (0, 1), (1, 2), (-1, 0.5).

2. График функции $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ — это логарифмическая функция. Она определена при $ x > 0 $. Поскольку основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, функция является строго убывающей. Ключевые точки: (1, 0), (0.5, 1), (2, -1).

Построим эскизы графиков в одной системе координат.

• Функция $ y = 2^x $ строго возрастает.
• Функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ строго убывает.

Такие функции могут пересечься не более одного раза.

Определим, существует ли точка пересечения.

• Функция $ y = 2^x $ всегда положительна.
• Функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ положительна при $ 0 < x < 1 $ и отрицательна при $ x > 1 $. Значит, если решение существует, оно должно лежать в интервале $(0, 1)$.

Рассмотрим поведение функций на границах этого интервала:

• При $ x $, стремящемся к 0 справа ($ x \to 0^+ $), $ 2^x \to 1 $, а $ \log_{\frac{1}{2}} x \to +\infty $. В этой области график логарифма находится выше графика показательной функции.
• При $ x=1 $, имеем $ 2^1 = 2 $, а $ \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0 $. В этой точке график показательной функции находится выше графика логарифма.

Поскольку обе функции непрерывны на интервале $(0, 1]$, и на его концах их относительное положение меняется, их графики обязательно должны пересечься в некоторой точке внутри этого интервала.

Таким образом, графический метод показывает, что уравнение имеет ровно одно решение, которое находится в интервале $(0, 1)$. Однако это уравнение является трансцендентным и не имеет точного решения, выраженного через элементарные функции. Найти его можно только численными методами.

Ответ: Уравнение имеет один корень.