Номер 385, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 385, страница 115.

Условие.

385 Сравнить числа:

1) $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $;

2) $ 2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} $ и $ \sqrt{8} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы сравнить числа $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ и $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$, преобразуем каждое из них, используя свойства логарифмов.

Преобразуем первое число, используя свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$ и тот факт, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$:
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \log_{2^{-1}} 3^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_2 3 = \log_2 3$.

Аналогично преобразуем второе число:
$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \log_{3^{-1}} 2^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_3 2 = \log_3 2$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\log_2 3$ и $\log_3 2$.
Рассмотрим число $\log_2 3$. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поскольку $3 > 2$, то $\log_2 3 > \log_2 2$, а $\log_2 2 = 1$. Следовательно, $\log_2 3 > 1$.
Рассмотрим число $\log_3 2$. Так как основание логарифма $3 > 1$, эта функция также является возрастающей. Поскольку $2 < 3$, то $\log_3 2 < \log_3 3$, а $\log_3 3 = 1$. Следовательно, $\log_3 2 < 1$.
Так как $\log_2 3 > 1$ и $\log_3 2 < 1$, очевидно, что $\log_2 3 > \log_3 2$.

Таким образом, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$.

2) Для того чтобы сравнить числа $2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9}$ и $\sqrt{8}$, упростим каждое из них.

Упростим первое число. Сначала преобразуем его показатель степени, используя свойства логарифмов $k \log_a b = \log_a b^k$ и $\log_{a^k} a = \frac{1}{k}$:
$2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9 = \log_2 5^2 + \log_{9^{-1}} 9^1 = \log_2 25 + \frac{1}{-1}\log_9 9 = \log_2 25 - 1$.

Теперь подставим полученный показатель обратно в выражение:
$2^{\log_2 25 - 1} = \frac{2^{\log_2 25}}{2^1}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$\frac{25}{2} = 12.5$.

Теперь рассмотрим второе число: $\sqrt{8}$.
Для сравнения чисел $12.5$ и $\sqrt{8}$ можно сравнить их квадраты, так как оба числа положительные. Если квадрат первого числа больше квадрата второго, то и само первое число больше второго.
$(12.5)^2 = (\frac{25}{2})^2 = \frac{625}{4} = 156.25$.
$(\sqrt{8})^2 = 8$.

Поскольку $156.25 > 8$, то и $12.5 > \sqrt{8}$.
Следовательно, $2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8}$.

Ответ: $2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8}$.