Номер 399, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 399, страница 116.

Условие.

399 Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим три искомых последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3$. Для удобства вычислений представим их в виде $b_1 = \frac{b}{q}$, $b_2 = b$ и $b_3 = bq$, где $b$ — средний член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Согласно условиям задачи, составим систему из двух уравнений:

1. Сумма членов равна 62:
$b_1 + b_2 + b_3 = 62$
$\frac{b}{q} + b + bq = 62$

2. Сумма их десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10) равна 3:
$\lg(b_1) + \lg(b_2) + \lg(b_3) = 3$
$\lg(\frac{b}{q}) + \lg(b) + \lg(bq) = 3$

Начнем с решения второго уравнения. Используя свойство логарифмов $\log(x) + \log(y) = \log(xy)$, мы можем упростить левую часть:

$\lg(\frac{b}{q} \cdot b \cdot bq) = 3$
$\lg(b^3) = 3$

По определению логарифма, если $\log_a(c) = d$, то $a^d = c$. В нашем случае основание равно 10:

$b^3 = 10^3$
$b = 10$

Теперь мы знаем, что средний член прогрессии равен 10. Подставим это значение в первое уравнение системы:

$\frac{10}{q} + 10 + 10q = 62$

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:

$\frac{10}{q} + 10q = 52$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $q$ (поскольку для существования логарифмов члены прогрессии должны быть положительными, $q$ не может быть равно нулю):

$10 + 10q^2 = 52q$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$10q^2 - 52q + 10 = 0$

Для удобства разделим уравнение на 2:

$5q^2 - 26q + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней $q = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$:

Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

$q_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Найдем члены прогрессии для каждого из них, зная, что $b=10$.

Случай 1: $q=5$
$b_1 = \frac{b}{q} = \frac{10}{5} = 2$
$b_2 = b = 10$
$b_3 = bq = 10 \cdot 5 = 50$
Получаем последовательность: 2, 10, 50.

Случай 2: $q = \frac{1}{5}$
$b_1 = \frac{b}{q} = \frac{10}{1/5} = 50$
$b_2 = b = 10$
$b_3 = bq = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$
Получаем последовательность: 50, 10, 2.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор из трех чисел.

Ответ: искомые три члена геометрической прогрессии — это числа 2, 10 и 50.