Номер 353, страница 109 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 353, страница 109.

Условие.

353 Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $5 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x = a$ имеет корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы данное уравнение имело корни, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ и параметра $a$.

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 5. Для этого используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b}$.

Преобразуем члены уравнения:

$\log_{a} x = \frac{\log_{5} x}{\log_{5} a}$

$\log_{25} x = \frac{\log_{5} x}{\log_{5} 25} = \frac{\log_{5} x}{2}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$5 \log_{5} x + \frac{\log_{5} x}{\log_{5} a} - 4 \left( \frac{\log_{5} x}{2} \right) = a$

Упростим полученное выражение:

$5 \log_{5} x + \frac{\log_{5} x}{\log_{5} a} - 2 \log_{5} x = a$

$3 \log_{5} x + \frac{\log_{5} x}{\log_{5} a} = a$

Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{5} x$. Так как $x > 0$, переменная $t$ может принимать любые действительные значения ($t \in \mathbb{R}$). После замены уравнение примет вид:

$3t + \frac{t}{\log_{5} a} = a$

Вынесем $t$ за скобки, чтобы получить линейное уравнение относительно $t$:

$t \left(3 + \frac{1}{\log_{5} a}\right) = a$

Это уравнение вида $k \cdot t = b$, где $k = 3 + \frac{1}{\log_{5} a}$ и $b = a$. Такое уравнение имеет решение для $t$ всегда, за исключением случая, когда $k=0$ и $b \neq 0$.

Рассмотрим случай, когда коэффициент $k$ при $t$ равен нулю:

$3 + \frac{1}{\log_{5} a} = 0$

$\frac{1}{\log_{5} a} = -3$

$\log_{5} a = -\frac{1}{3}$

$a = 5^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Это значение $a$ удовлетворяет ОДЗ ($a>0, a\neq1$). Проверим, чему равна правая часть уравнения $b=a$ при этом значении:

$a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \neq 0$

Таким образом, при $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ мы имеем случай $k=0$ и $b \neq 0$. Уравнение для $t$ принимает вид $t \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$, что является неверным равенством и не имеет решений. Следовательно, при $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ исходное уравнение не имеет корней.

Во всех остальных случаях, когда параметр $a$ удовлетворяет ОДЗ ($a > 0$, $a \neq 1$) и $a \neq \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$, коэффициент $k = 3 + \frac{1}{\log_{5} a}$ не равен нулю. В этих случаях уравнение имеет единственное решение для $t$:

$t = \frac{a}{3 + \frac{1}{\log_{5} a}}$

Поскольку для любого действительного значения $t$ существует соответствующее положительное значение $x = 5^t$, то при этих значениях $a$ исходное уравнение будет иметь корень.

Итак, уравнение имеет корни при всех значениях параметра $a$ из его области допустимых значений, за исключением $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$.

Заметим, что $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{5} < \sqrt[3]{8}$, то есть $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Отсюда следует, что $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt[3]{5}} < 1$. Таким образом, исключаемая точка лежит в интервале $(0, 1)$.

Искомые значения параметра $a$ — это все числа, принадлежащие множеству $(0, 1) \cup (1, +\infty)$, кроме $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{\sqrt[3]{5}}) \cup (\frac{1}{\sqrt[3]{5}}; 1) \cup (1; +\infty)$.