Номер 349, страница 109 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 19. Логарифмические уравнения. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 349, страница 109.

349 1) $\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2;$

2) $\log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2.$

1)

Дано уравнение: $ \log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2 $.

Первым шагом определим Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $ x $. Основания логарифмов должны быть положительными и не равняться единице.

1. Для логарифма $ \log_{x^2} 9 $ основание $ x^2 $ должно удовлетворять условиям: $ x^2 > 0 $ и $ x^2 \neq 1 $. Из этого следует, что $ x \neq 0 $, $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

2. Для логарифма $ \log_{\sqrt{x}} 4 $ основание $ \sqrt{x} $ должно удовлетворять условиям: $ \sqrt{x} > 0 $ и $ \sqrt{x} \neq 1 $. Из этого следует, что $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, \infty) $.

Далее преобразуем логарифмы, приведя их к общему основанию $ x $. Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $.

Для первого слагаемого: $ \log_{x^2} 9 = \log_{x^2} 3^2 $. Так как по ОДЗ $ x > 0 $, можно применить свойство $ \log_{a^n} b^n = \log_{|a|} b $, что даёт $ \log_x 3 $.

Для второго слагаемого: $ \log_{\sqrt{x}} 4 = \log_{x^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_x 4 = 2 \log_x 4 $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $ \log_x 3 + 2 \log_x 4 = 2 $.

Применим свойство степени логарифма $ n \log_a b = \log_a b^n $: $ \log_x 3 + \log_x 4^2 = 2 $, $ \log_x 3 + \log_x 16 = 2 $.

Теперь применим свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $: $ \log_x (3 \cdot 16) = 2 $, $ \log_x 48 = 2 $.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), получаем уравнение: $ x^2 = 48 $.

Решаем это уравнение: $ x = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm 4\sqrt{3} $.

Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($ x > 0, x \neq 1 $). Корень $ x = 4\sqrt{3} $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x = -4\sqrt{3} $ не удовлетворяет ОДЗ, так как является отрицательным.

Ответ: $4\sqrt{3}$

2)

Дано уравнение: $ \log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) аналогична предыдущему уравнению: $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

Приведем логарифмы к основанию $ x $:

$ \log_{x^2} 16 = \log_{x^2} 4^2 = \log_x 4 $ (поскольку $ x > 0 $).

$ \log_{\sqrt{x}} 7 = \log_{x^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} \log_x 7 = 2 \log_x 7 $.

Подставим преобразованные выражения в уравнение: $ \log_x 4 - 2 \log_x 7 = 2 $.

Используем свойство степени логарифма $ n \log_a b = \log_a b^n $: $ \log_x 4 - \log_x 7^2 = 2 $, $ \log_x 4 - \log_x 49 = 2 $.

Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) $: $ \log_x \left(\frac{4}{49}\right) = 2 $.

По определению логарифма: $ x^2 = \frac{4}{49} $.

Решаем уравнение: $ x = \pm\sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7} $.

Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($ x > 0, x \neq 1 $). Корень $ x = \frac{2}{7} $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x = -\frac{2}{7} $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{7}$