Номер 356, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 20. Логарифмические неравенства - номер 356, страница 112.

Условие.

356 1) $lg x > lg 8 + 1;$

2) $lg x > 2 - lg 4;$

3) $log_2 (x - 4) < 1;$

4) $log_{\frac{1}{5}} (3x - 5) > log_{\frac{1}{5}} (x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\lg x > \lg 8 + 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Теперь решим неравенство. Представим число 1 в виде десятичного логарифма: $1 = \lg 10$.

$\lg x > \lg 8 + \lg 10$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg x > \lg (8 \cdot 10)$

$\lg x > \lg 80$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то функция является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 80$

Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Решение $x > 80$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (80; +\infty)$

2) $\lg x > 2 - \lg 4$

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем $\lg 4$ в левую часть неравенства:

$\lg x + \lg 4 > 2$

Применим свойство суммы логарифмов:

$\lg(4x) > 2$

Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $2 = 2 \cdot \lg 10 = \lg 10^2 = \lg 100$.

$\lg(4x) > \lg 100$

Так как основание логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$4x > 100$

$x > 25$

Решение $x > 25$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (25; +\infty)$

3) $\log_2 (x - 4) < 1$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.

$x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$

Теперь решим неравенство. Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2 (x - 4) < \log_2 2$

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x - 4 < 2$

$x < 6$

Объединяем полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение интервалов $x > 4$ и $x < 6$.

$4 < x < 6$

Ответ: $x \in (4; 6)$

4) $\log_{\frac{1}{5}}(3x - 5) > \log_{\frac{1}{5}}(x + 1)$

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{5}{3}$.

Теперь решаем само неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 5 < x + 1$

$3x - x < 1 + 5$

$2x < 6$

$x < 3$

Находим пересечение решения $x < 3$ с ОДЗ $x > \frac{5}{3}$.

$\frac{5}{3} < x < 3$

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; 3)$