Номер 339, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 339, страница 108.

Условие.

339 1) $\frac{1}{2} \lg (x^2 + x - 5) = \lg (5x) + \lg \frac{1}{5x};$

2) $\frac{1}{2} \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg (8x) - \lg (4x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = \lg(5x) + \lg\frac{1}{5x}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 + x - 5 > 0 \\ 5x > 0 \\ \frac{1}{5x} > 0 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств системы следует, что $x > 0$.

Теперь решим первое неравенство $x^2 + x - 5 > 0$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 5$ направлены вверх, неравенство $x^2 + x - 5 > 0$ выполняется при $x < \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$ и $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

Для нахождения ОДЗ объединим все условия:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty) \end{cases}$
Учитывая, что $\frac{-1 - \sqrt{21}}{2} < 0$ и $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2} > 0$, пересечением этих множеств будет интервал $x \in (\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь приступим к решению уравнения. Упростим правую часть, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:
$\lg(5x) + \lg\frac{1}{5x} = \lg(5x \cdot \frac{1}{5x}) = \lg(1) = 0$.

Исходное уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = 0$.

Умножим обе части уравнения на 2:
$\lg(x^2 + x - 5) = 0$.

По определению десятичного логарифма ($lg(A)=B \Leftrightarrow A=10^B$):
$x^2 + x - 5 = 10^0$
$x^2 + x - 5 = 1$
$x^2 + x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$). Приближенное значение $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \approx \frac{-1 + 4.58}{2} \approx 1.79$.
1. Корень $x = 2$. Так как $2 > 1.79$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.
2. Корень $x = -3$. Так как $-3 < 1.79$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $2$

2) $\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 4x - 1 > 0 \\ 8x > 0 \\ 4x > 0 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > 0$.

Решим первое неравенство $x^2 - 4x - 1 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < 2 - \sqrt{5}$ и $x > 2 + \sqrt{5}$.

Объединим условия для нахождения ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, +\infty) \end{cases}$
Учитывая, что $2 - \sqrt{5} < 0$, а $2 + \sqrt{5} > 0$, пересечением множеств будет интервал $x \in (2 + \sqrt{5}, +\infty)$. Это ОДЗ.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(\frac{a}{b})$:
$\lg(8x) - \lg(4x) = \lg(\frac{8x}{4x}) = \lg(2)$.

Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2)$.

Применим свойство степени логарифма $c \lg a = \lg(a^c)$ к левой части:
$\lg((x^2 - 4x - 1)^{1/2}) = \lg(2)$
$\lg(\sqrt{x^2 - 4x - 1}) = \lg(2)$.

Так как основания логарифмов равны, а логарифмическая функция монотонна, мы можем приравнять аргументы:
$\sqrt{x^2 - 4x - 1} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$x^2 - 4x - 1 = 2^2$
$x^2 - 4x - 1 = 4$
$x^2 - 4x - 5 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2 + \sqrt{5}$). Приближенное значение $2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.24 = 4.24$.
1. Корень $x = 5$. Так как $5 > 4.24$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.
2. Корень $x = -1$. Так как $-1 < 4.24$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является $x=5$.

Ответ: $5$