Номер 332, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 332, страница 104.

Условие.

332 Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

1) $y = \log_3 (x - 1);$

2) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1);$

3) $y = 1 + \log_3 x;$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 1;$

5) $y = 1 + \log_3 (x - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \log_3 (x - 1)$

Построение графика:
График данной функции получается из графика основной логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем его сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox).
Базовый график $y = \log_3 x$ — это возрастающая кривая (т.к. основание $3 > 1$), проходящая через точку $(1; 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.
При сдвиге вправо на 1 единицу, вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=1$.
Найдем ключевые точки для построения смещенного графика:
- Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $\log_3(x-1) = 0 \Rightarrow x-1 = 3^0 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$. Координаты точки: $(2; 0)$.
- Найдем еще одну точку. Пусть $y=1$: $\log_3(x-1) = 1 \Rightarrow x-1 = 3^1 \Rightarrow x = 4$. Координаты точки: $(4; 1)$.
Таким образом, график — это возрастающая кривая, которая приближается к вертикальной асимптоте $x=1$ слева и проходит через точки $(2; 0)$ и $(4; 1)$.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.
$D(y) = (1; +\infty)$.

Множество значений:
Множеством значений любой логарифмической функции является множество всех действительных чисел. Сдвиг на это не влияет.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (1; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

2) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$

Построение графика:
График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси Ox.
Базовый график $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая кривая (т.к. основание $0 < \frac{1}{3} < 1$), проходящая через точку $(1; 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.
При сдвиге влево на 1 единицу, вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-1$.
Найдем ключевые точки:
- Точка пересечения с осями (где $x=0$ или $y=0$):
При $x=0$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(0+1) = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.
- Найдем еще одну точку. Пусть $y=-1$: $\log_{\frac{1}{3}}(x+1) = -1 \Rightarrow x+1 = (\frac{1}{3})^{-1} \Rightarrow x+1 = 3 \Rightarrow x = 2$. Координаты точки: $(2; -1)$.
График — убывающая кривая, приближающаяся к асимптоте $x=-1$ и проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; -1)$.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$.
$D(y) = (-1; +\infty)$.

Множество значений:
Множество значений логарифмической функции — все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-1; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

3) $y = 1 + \log_3 x$

Построение графика:
График данной функции получается из графика $y = \log_3 x$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).
Базовый график $y = \log_3 x$ — возрастающая кривая с асимптотой $x=0$, проходящая через $(1; 0)$.
При сдвиге вверх на 1 единицу, асимптота $x=0$ не меняется. Точка $(1; 0)$ смещается в точку $(1; 1)$.
Найдем ключевые точки:
- Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $1 + \log_3 x = 0 \Rightarrow \log_3 x = -1 \Rightarrow x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Координаты точки: $(\frac{1}{3}; 0)$.
- Найдем еще одну точку. При $x=3$, $y = 1 + \log_3 3 = 1+1=2$. Координаты точки: $(3; 2)$.
График — возрастающая кривая с асимптотой $x=0$, проходящая через точки $(\frac{1}{3}; 0)$, $(1; 1)$ и $(3; 2)$.

Область определения:
Аргумент логарифма: $x > 0$.
$D(y) = (0; +\infty)$.

Множество значений:
Множество значений логарифмической функции — все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 1$

Построение графика:
График функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
Базовый график $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая кривая с асимптотой $x=0$, проходящая через $(1; 0)$.
При сдвиге вниз на 1 единицу, асимптота $x=0$ не меняется. Точка $(1; 0)$ смещается в точку $(1; -1)$.
Найдем ключевые точки:
- Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $\log_{\frac{1}{3}} x - 1 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = 1 \Rightarrow x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Координаты точки: $(\frac{1}{3}; 0)$.
- Найдем еще одну точку. При $x=3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 - 1 = -1-1=-2$. Координаты точки: $(3; -2)$.
График — убывающая кривая с асимптотой $x=0$, проходящая через точки $(\frac{1}{3}; 0)$, $(1; -1)$ и $(3; -2)$.

Область определения:
Аргумент логарифма: $x > 0$.
$D(y) = (0; +\infty)$.

Множество значений:
Множество значений логарифмической функции — все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

5) $y = 1 + \log_3 (x - 1)$

Построение графика:
Этот график можно получить из графика $y = \log_3 x$ двумя последовательными сдвигами: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.
Вертикальная асимптота $x=0$ смещается вправо и становится прямой $x=1$.
Найдем ключевые точки:
- Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $1 + \log_3(x-1) = 0 \Rightarrow \log_3(x-1) = -1 \Rightarrow x-1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Координаты точки: $(\frac{4}{3}; 0)$.
- Найдем точку, где аргумент логарифма равен 1. Пусть $x-1=1 \Rightarrow x=2$. Тогда $y = 1 + \log_3(1) = 1+0=1$. Координаты точки: $(2; 1)$.
График — возрастающая кривая с асимптотой $x=1$, проходящая через точки $(\frac{4}{3}; 0)$ и $(2; 1)$.

Область определения:
Аргумент логарифма: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.
$D(y) = (1; +\infty)$.

Множество значений:
Множество значений логарифмической функции — все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (1; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.