Номер 325, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 18. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 325, страница 104.

Решить неравенство (325—326).

325 1) $\log_5 x > \log_5 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}} x \le \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8};$

3) $\lg x < \lg 4;$

4) $\ln x > \ln 0,5.$

1) $\log_5 x > \log_5 3$

Данное логарифмическое неравенство имеет вид $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В данном случае, $x > 0$. Аргумент второго логарифма $3 > 0$, что является верным. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Основание логарифма $a=5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 3$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x > 3 \\ x > 0 \end{cases}$ Решением системы является $x > 3$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{5}} x \le \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{5}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{5}} t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x \ge \frac{1}{8}$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x \ge \frac{1}{8} \\ x > 0 \end{cases}$ Решением системы является $x \ge \frac{1}{8}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{8}, +\infty)$.

3) $\lg x < \lg 4$

Десятичный логарифм $\lg x$ имеет основание $a=10$. ОДЗ неравенства определяется условием $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Так как основание $a=10 > 1$, функция $y = \lg t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется: $x < 4$.

Совместим полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases}$ Решением системы является двойное неравенство $0 < x < 4$.

Ответ: $x \in (0, 4)$.

4) $\ln x > \ln 0,5$

Натуральный логарифм $\ln x$ имеет основание $a=e$, где $e \approx 2,718$. ОДЗ неравенства: $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Так как основание $a=e > 1$, функция $y = \ln t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется: $x > 0,5$.

Найдем пересечение с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0,5 \\ x > 0 \end{cases}$ Решением системы является $x > 0,5$.

Ответ: $x \in (0,5, +\infty)$.