Номер 319, страница 103 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 319, страница 103.

Условие.

319 Выяснить, является ли положительным или отрицательным число:

1) $log_3 4,5;$

2) $log_3 0,45;$

3) $log_5 25,3;$

4) $log_{0,5} 9,6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения знака логарифма $\log_a b$ необходимо проанализировать его основание $a$ и аргумент $b$, сравнивая их с единицей. Знак логарифма зависит от того, по одну или по разные стороны от единицы находятся основание и аргумент.

Правило можно сформулировать так:
1. Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $\log_a 1 = 0$, то:
- для любого $b > 1$ будет выполняться $\log_a b > 0$ (число положительное);
- для любого $0 < b < 1$ будет выполняться $\log_a b < 0$ (число отрицательное).
2. Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $\log_a 1 = 0$, то:
- для любого $b > 1$ будет выполняться $\log_a b < 0$ (число отрицательное);
- для любого $0 < b < 1$ будет выполняться $\log_a b > 0$ (число положительное).

Применим эти правила к каждому из выражений.

1)

Рассмотрим число $\log_3 4,5$.
Основание $a = 3$. Так как $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.
Аргумент $b = 4,5$. Так как $4,5 > 1$.
Поскольку основание и аргумент находятся по одну сторону от единицы (оба больше 1), значение логарифма положительно. Формально, так как $4,5 > 1$ и функция возрастает, то $\log_3 4,5 > \log_3 1 = 0$.
Ответ: положительное.

2)

Рассмотрим число $\log_3 0,45$.
Основание $a = 3$. Так как $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.
Аргумент $b = 0,45$. Так как $0 < 0,45 < 1$.
Поскольку основание и аргумент находятся по разные стороны от единицы, значение логарифма отрицательно. Формально, так как $0,45 < 1$ и функция возрастает, то $\log_3 0,45 < \log_3 1 = 0$.
Ответ: отрицательное.

3)

Рассмотрим число $\log_5 25,3$.
Основание $a = 5$. Так как $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.
Аргумент $b = 25,3$. Так как $25,3 > 1$.
Поскольку основание и аргумент находятся по одну сторону от единицы (оба больше 1), значение логарифма положительно. Формально, так как $25,3 > 1$ и функция возрастает, то $\log_5 25,3 > \log_5 1 = 0$.
Ответ: положительное.

4)

Рассмотрим число $\log_{0,5} 9,6$.
Основание $a = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей.
Аргумент $b = 9,6$. Так как $9,6 > 1$.
Поскольку основание и аргумент находятся по разные стороны от единицы, значение логарифма отрицательно. Формально, так как $9,6 > 1$ и функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{0,5} 9,6 < \log_{0,5} 1 = 0$.
Ответ: отрицательное.