Номер 314, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 314, страница 99.

Условие.

314 Вычислить (не используя микрокалькулятор):

1) $\frac{\log_5 2}{\log_5 6} + \frac{\log_4 3}{\log_4 6}$;

2) $\left(\log_7 2 + \frac{1}{\log_5 7}\right) \lg 7$;

3) $\frac{2 \log_2 3}{\log_4 9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. Применяя ее в обратном порядке к каждому слагаемому, получим:

$ \frac{\log_5 2}{\log_5 6} = \log_6 2 $

$ \frac{\log_4 3}{\log_4 6} = \log_6 3 $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$ \log_6 2 + \log_6 3 $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_b x + \log_b y = \log_b (x \cdot y) $:

$ \log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 6 $

По определению логарифма, $ \log_b b = 1 $, следовательно:

$ \log_6 6 = 1 $

Ответ: 1

2) Для начала преобразуем второе слагаемое в скобках, используя свойство $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $:

$ \frac{1}{\log_5 7} = \log_7 5 $

Теперь выражение в скобках принимает вид:

$ \log_7 2 + \log_7 5 $

Применяя свойство суммы логарифмов $ \log_b x + \log_b y = \log_b (x \cdot y) $, получаем:

$ \log_7 (2 \cdot 5) = \log_7 10 $

Исходное выражение теперь выглядит так:

$ (\log_7 10) \cdot \lg 7 $

Напомним, что $ \lg 7 $ - это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} 7 $. Воспользуемся свойством $ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c $. Для этого можно использовать формулу перехода к любому удобному основанию, например, к натуральному логарифму $ \ln $:

$ \log_7 10 \cdot \log_{10} 7 = \frac{\ln 10}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln 10} = 1 $

Либо, применив свойство $ \log_a b \cdot \log_b a = 1 $, получим тот же результат.

Ответ: 1

3) Рассмотрим знаменатель дроби $ \log_4 9 $. Преобразуем его, представив основание и аргумент в виде степеней: $ 4 = 2^2 $ и $ 9 = 3^2 $.

$ \log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 $

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{b^m} a^n = \frac{n}{m}\log_b a $:

$ \log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = 1 \cdot \log_2 3 = \log_2 3 $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{2\log_2 3}{\log_4 9} = \frac{2\log_2 3}{\log_2 3} $

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$ \frac{2\cancel{\log_2 3}}{\cancel{\log_2 3}} = 2 $

Ответ: 2