Номер 309, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 17. Десятичные и натуральные логарифмы. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 309, страница 99.

309 Дано: $\lg 3 = m$, $\lg 5 = n$. Найти: $\log_{15} 30$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов. Нам даны десятичные логарифмы (обозначение lg, то есть логарифм по основанию 10), поэтому перейдем к основанию 10.

Формула перехода к новому основанию выглядит так: $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $.

Применим эту формулу к выражению $ \log_{15} 30 $, выбрав в качестве нового основания $ c=10 $:

$ \log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15} $

Теперь выразим числитель и знаменатель через данные нам величины $ m = \lg 3 $ и $ n = \lg 5 $.

1. Преобразуем числитель $ \lg 30 $.

Представим число 30 в виде произведения: $ 30 = 3 \cdot 10 $.

Используя свойство логарифма произведения ($ \log(ab) = \log(a) + \log(b) $), получаем:

$ \lg 30 = \lg(3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10 $

По условию $ \lg 3 = m $. Также мы знаем, что десятичный логарифм от 10 равен 1: $ \lg 10 = 1 $.

Таким образом, числитель равен:

$ \lg 30 = m + 1 $

2. Преобразуем знаменатель $ \lg 15 $.

Представим число 15 в виде произведения: $ 15 = 3 \cdot 5 $.

Используя то же свойство логарифма произведения, получаем:

$ \lg 15 = \lg(3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5 $

По условию $ \lg 3 = m $ и $ \lg 5 = n $.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \lg 15 = m + n $

3. Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$ \log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15} = \frac{m+1}{m+n} $

Ответ: $ \frac{m+1}{m+n} $