Номер 310, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 310, страница 99.

Условие.

310 Дано: $\log_6 2 = m$. Найти: $\log_{24} 72$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо выразить искомый логарифм $\log_{24} 72$ через заданную переменную $m = \log_6 2$. Наиболее удобный способ — это привести все логарифмы к одному основанию. В качестве такого основания выберем 6.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Применим эту формулу к искомому выражению, перейдя к основанию 6:

$\log_{24} 72 = \frac{\log_6 72}{\log_6 24}$

Теперь нам нужно выразить числитель и знаменатель через $m = \log_6 2$. Для этого нам также понадобится значение $\log_6 3$. Найдем его, используя основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов:

$\log_6 6 = 1$

С другой стороны, $\log_6 6 = \log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3$.

Приравнивая эти выражения, получаем:

$1 = \log_6 2 + \log_6 3$

Подставляем известное значение $\log_6 2 = m$:

$1 = m + \log_6 3$

Отсюда выражаем $\log_6 3$:

$\log_6 3 = 1 - m$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя разложение чисел 72 и 24 на простые множители и свойства логарифмов:

1. Преобразуем числитель $\log_6 72$:

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

$\log_6 72 = \log_6(2^3 \cdot 3^2) = \log_6(2^3) + \log_6(3^2) = 3\log_6 2 + 2\log_6 3$

Подставляем $m$ и $1-m$:

$3\log_6 2 + 2\log_6 3 = 3m + 2(1 - m) = 3m + 2 - 2m = m + 2$

2. Преобразуем знаменатель $\log_6 24$:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$\log_6 24 = \log_6(2^3 \cdot 3) = \log_6(2^3) + \log_6 3 = 3\log_6 2 + \log_6 3$

Подставляем $m$ и $1-m$:

$3\log_6 2 + \log_6 3 = 3m + (1 - m) = 2m + 1$

Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$\log_{24} 72 = \frac{\log_6 72}{\log_6 24} = \frac{m+2}{2m+1}$

Ответ: $\frac{m+2}{2m+1}$