Номер 317, страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 317, страница 100.

Условие.

317 Вычислить на микрокалькуляторе приближённое значение числа $e$ по формуле $e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot n}$

при:

1) $n = 7;$

2) $n = 8;$

3) $n = 9;$

4) $n = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данная формула является приближением числа $e$ через частичную сумму его разложения в ряд Тейлора: $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots$

Формула из задания $e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n}$ эквивалентна сумме первых $n+1$ членов этого ряда (от $k=0$ до $k=n$): $S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}$.

Вычислим значения для каждого $n$, производя вычисления с достаточной точностью и округляя итоговый ответ до 6 знаков после запятой.

1) n = 7;

При $n=7$ необходимо вычислить сумму: $S_7 = 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!}$

Выполним вычисления по шагам:

$k=2: 2 + \frac{1}{2} = 2.5$

$k=3: 2.5 + \frac{1}{6} \approx 2.5 + 0.1666667 = 2.6666667$

$k=4: 2.6666667 + \frac{1}{24} \approx 2.6666667 + 0.0416667 = 2.7083334$

$k=5: 2.7083334 + \frac{1}{120} \approx 2.7083334 + 0.0083333 = 2.7166667$

$k=6: 2.7166667 + \frac{1}{720} \approx 2.7166667 + 0.0013889 = 2.7180556$

$k=7: 2.7180556 + \frac{1}{5040} \approx 2.7180556 + 0.0001984 = 2.7182540$

Ответ: $e \approx 2.718254$

2) n = 8;

При $n=8$ к предыдущей сумме $S_7$ добавляется слагаемое $\frac{1}{8!}$: $S_8 = S_7 + \frac{1}{8!} \approx 2.7182540 + \frac{1}{40320}$

Вычисляем: $S_8 \approx 2.7182540 + 0.0000248 = 2.7182788$

Округляя до 6 знаков после запятой, получаем $2.718279$.

Ответ: $e \approx 2.718279$

3) n = 9;

При $n=9$ к сумме $S_8$ добавляется слагаемое $\frac{1}{9!}$: $S_9 = S_8 + \frac{1}{9!} \approx 2.7182788 + \frac{1}{362880}$

Вычисляем: $S_9 \approx 2.7182788 + 0.0000028 = 2.7182816$

Округляя до 6 знаков после запятой, получаем $2.718282$.

Ответ: $e \approx 2.718282$

4) n = 10.

При $n=10$ к сумме $S_9$ добавляется слагаемое $\frac{1}{10!}$: $S_{10} = S_9 + \frac{1}{10!} \approx 2.7182816 + \frac{1}{3628800}$

Вычисляем: $S_{10} \approx 2.7182816 + 0.0000003 = 2.7182819$

Округляя до 6 знаков после запятой, получаем $2.718282$.

Ответ: $e \approx 2.718282$