Номер 318, страница 103 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 318, страница 103.

Условие.

318 Сравнить числа:

1) $\log_3 \frac{6}{5}$ и $\log_3 \frac{5}{6}$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 9$ и $\log_{\frac{1}{3}} 17$;

3) $\log_{\frac{1}{2}} e$ и $\log_{\frac{1}{2}} \pi$;

4) $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $\log_3 \frac{6}{5}$ и $\log_3 \frac{5}{6}$ необходимо проанализировать логарифмическую функцию $y = \log_3 x$. Основание этого логарифма $a=3$. Поскольку $a > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Теперь сравним аргументы логарифмов: $\frac{6}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Так как $\frac{6}{5} = 1.2$, а $\frac{5}{6}$ меньше единицы, очевидно, что $\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$. В силу возрастания функции $y = \log_3 x$, из неравенства $\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$ следует, что $\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}$.
Ответ: $\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}$.

2) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{3}} 9$ и $\log_{\frac{1}{3}} 17$ рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, данная функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним аргументы: $9$ и $17$. Очевидно, что $17 > 9$. Так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, из неравенства $17 > 9$ следует неравенство противоположного знака для значений функции: $\log_{\frac{1}{3}} 17 < \log_{\frac{1}{3}} 9$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$.

3) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{2}} e$ и $\log_{\frac{1}{2}} \pi$ рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей. Сравним аргументы: $e$ (число Эйлера) и $\pi$ (число пи). Известно, что $e \approx 2.718$, а $\pi \approx 3.141$, следовательно, $\pi > e$. Так как функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывающая, из неравенства $\pi > e$ следует, что $\log_{\frac{1}{2}} \pi < \log_{\frac{1}{2}} e$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$.

4) Для сравнения чисел $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$ рассмотрим функцию $y = \log_2 x$. Основание логарифма $a=2$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей. Сравним аргументы: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как у дробей одинаковые положительные знаменатели, для их сравнения достаточно сравнить числители: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$. Поскольку $5 > 3$, то и $\sqrt{5} > \sqrt{3}$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$. В силу возрастания функции $y = \log_2 x$, из неравенства $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.