Номер 320, страница 103 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 320, страница 103.

Условие.

320 Сравнить с единицей число $x$, если:

1) $\log_3 x = -0,3;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = 1,7;$

3) $\log_2 x = 1,3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы сравнить $x$ с единицей в уравнении $\log_3 x = -0,3$, мы воспользуемся свойствами логарифмической функции. Основание логарифма $a=3$, так как $3 > 1$, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Нам нужно сравнить $x$ с $1$. Мы знаем, что $\log_3 1 = 0$.
Теперь сравним значения логарифмов:
$\log_3 x = -0,3$
$\log_3 1 = 0$
Поскольку $-0,3 < 0$, то $\log_3 x < \log_3 1$.
Так как функция $y = \log_3 x$ возрастающая, из неравенства $\log_3 x < \log_3 1$ следует, что $x < 1$.
Ответ: $x < 1$.

2) В уравнении $\log_{\frac{1}{3}} x = 1,7$ основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Сравним $x$ с $1$. Мы знаем, что $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$.
Теперь сравним значения логарифмов:
$\log_{\frac{1}{3}} x = 1,7$
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
Поскольку $1,7 > 0$, то $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 1$.
Так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, из неравенства $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 1$ следует, что $x < 1$.
Ответ: $x < 1$.

3) В уравнении $\log_2 x = 1,3$ основание логарифма $a=2$. Так как $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей.
Сравним $x$ с $1$. Мы знаем, что $\log_2 1 = 0$.
Теперь сравним значения логарифмов:
$\log_2 x = 1,3$
$\log_2 1 = 0$
Поскольку $1,3 > 0$, то $\log_2 x > \log_2 1$.
Так как функция $y = \log_2 x$ возрастающая, из неравенства $\log_2 x > \log_2 1$ следует, что $x > 1$.
Ответ: $x > 1$.