Номер 327, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 327, страница 104.

Условие.

327 Решить уравнение:

1) $\log_3 (5x - 1) = 2;$

2) $\log_5 (3x + 1) = 2;$

3) $\log_4 (2x - 3) = 1;$

4) $\log_7 (x + 3) = 2;$

5) $\lg (3x - 1) = 0;$

6) $\lg (2 - 5x) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $log_3(5x - 1) = 2$.

Согласно определению логарифма, уравнение $log_a(b) = c$ эквивалентно уравнению $b = a^c$. Применим это правило к нашему случаю, где основание $a=3$, значение логарифма $c=2$, а подлогарифмическое выражение $b = 5x - 1$.

Получаем:

$5x - 1 = 3^2$

$5x - 1 = 9$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x = 9 + 1$

$5x = 10$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Проверим, принадлежит ли корень области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $5x - 1 > 0$. Подставим $x=2$: $5(2) - 1 = 10 - 1 = 9 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x=2$.

2) Дано уравнение $log_5(3x + 1) = 2$.

Используя определение логарифма ($b = a^c$), преобразуем уравнение:

$3x + 1 = 5^2$

$3x + 1 = 25$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 25 - 1$

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Проверка ОДЗ: $3x + 1 > 0$. Подставляем $x=8$: $3(8) + 1 = 24 + 1 = 25 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x=8$.

3) Дано уравнение $log_4(2x - 3) = 1$.

По определению логарифма:

$2x - 3 = 4^1$

$2x - 3 = 4$

Решаем уравнение:

$2x = 4 + 3$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$ или $x = 3.5$

Проверка ОДЗ: $2x - 3 > 0$. Подставляем $x=3.5$: $2(3.5) - 3 = 7 - 3 = 4 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x=3.5$.

4) Дано уравнение $log_7(x + 3) = 2$.

Преобразуем уравнение по определению логарифма:

$x + 3 = 7^2$

$x + 3 = 49$

Решаем уравнение:

$x = 49 - 3$

$x = 46$

Проверка ОДЗ: $x + 3 > 0$. Подставляем $x=46$: $46 + 3 = 49 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x=46$.

5) Дано уравнение $lg(3x - 1) = 0$.

Запись $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg(3x - 1) = log_{10}(3x - 1)$.

Применяем определение логарифма:

$3x - 1 = 10^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$3x - 1 = 1$

Решаем уравнение:

$3x = 1 + 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверка ОДЗ: $3x - 1 > 0$. Подставляем $x=\frac{2}{3}$: $3(\frac{2}{3}) - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x=\frac{2}{3}$.

6) Дано уравнение $lg(2 - 5x) = 1$.

Данное уравнение эквивалентно $log_{10}(2 - 5x) = 1$.

По определению логарифма:

$2 - 5x = 10^1$

$2 - 5x = 10$

Решаем уравнение:

$-5x = 10 - 2$

$-5x = 8$

$x = -\frac{8}{5}$ или $x = -1.6$

Проверка ОДЗ: $2 - 5x > 0$. Подставляем $x = -1.6$: $2 - 5(-1.6) = 2 + 8 = 10 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x=-1.6$.