Номер 331, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 331, страница 104.

Условие.

331 Найти область определения функции:

1) $y = \log_8 (x^2 - 3x - 4)$;

2) $y = \log_{\sqrt{3}} (-x^2 + 5x + 6)$;

3) $y = \log_{0,7} \frac{x^2 - 9}{x + 5}$;

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x - 4}{x^2 + 4}$;

5) $y = \log_{\pi} (2^x - 2)$;

6) $y = \log_3 (3^{x - 1} - 9)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$. В данном случае $y = \log_8 (x^2 - 3x - 4)$, следовательно, нам нужно решить неравенство:

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, $x < -1$ или $x > 4$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2)

Для функции $y = \log_{\sqrt{3}} (-x^2 + 5x + 6)$ область определения находится из условия:

$-x^2 + 5x + 6 > 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак на противоположный:

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $-1 < x < 6$.

Ответ: $(-1; 6)$.

3)

Для функции $y = \log_{0,7} \frac{x^2 - 9}{x + 5}$ область определения находится из условия:

$\frac{x^2 - 9}{x + 5} > 0$

Разложим числитель на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 5} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 3$, $x = -3$, $x = -5$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале. Выражение положительно на интервалах $(-5; -3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $(-5; -3) \cup (3; +\infty)$.

4)

Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x - 4}{x^2 + 4}$ область определения находится из условия:

$\frac{x - 4}{x^2 + 4} > 0$

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 4$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Значит, знаменатель всегда положителен.

Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство сводится к следующему:

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Ответ: $(4; +\infty)$.

5)

Для функции $y = \log_{\pi} (2^x - 2)$ область определения находится из условия:

$2^x - 2 > 0$

Это показательное неравенство. Перенесем 2 в правую часть:

$2^x > 2$

Так как $2 = 2^1$, неравенство можно переписать в виде:

$2^x > 2^1$

Поскольку основание степени $2 > 1$, функция $y=2^t$ является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.

6)

Для функции $y = \log_3 (3^{x - 1} - 9)$ область определения находится из условия:

$3^{x - 1} - 9 > 0$

Решим это показательное неравенство:

$3^{x - 1} > 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^{x - 1} > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x - 1 > 2$

$x > 3$

Ответ: $(3; +\infty)$.