Номер 324, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 324, страница 104.

Условие.

324 Изобразить схематически график функции:

1) $y = \lg x$;

2) $y = \ln x$;

3) $y = \log_{0,4} x$;

4) $y = \log_{\frac{1}{5}} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения схематических графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо проанализировать основание логарифма $a$.

• Область определения всех этих функций: $x > 0$. Это означает, что графики будут расположены в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).
• Все графики проходят через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0, a \neq 1$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для всех этих графиков.
• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

1) $y = \lg x$

Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$.

Основание $a = 10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

График проходит через точки $(1, 0)$ и $(10, 1)$.

При $x \to 0^+$ (приближении к нулю справа), $y \to -\infty$.

При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

Схематически это кривая, которая начинается в левом нижнем углу первой и четвертой четверти, проходит через точку $(1,0)$ и медленно возрастает вправо.

Ответ: График — возрастающая кривая, расположенная в правой полуплоскости. Пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$. Ось ординат ($x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится вниз при $x \to 0^+$.

2) $y = \ln x$

Это натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$: $y = \log_e x$.

Основание $a = e \approx 2,718$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

График проходит через точки $(1, 0)$ и $(e, 1)$ (примерно $(2.7, 1)$).

При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

График похож на $y=\lg x$, но поскольку основание $e$ меньше 10, он растет быстрее, чем график десятичного логарифма.

Ответ: График — возрастающая кривая, расположенная в правой полуплоскости, по форме похожая на график $y = \lg x$. Пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$. Ось ординат ($x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится вниз при $x \to 0^+$.

3) $y = \log_{0,4} x$

Основание $a = 0,4$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.

График проходит через точки $(1, 0)$ и $(0.4, 1)$.

При $x \to 0^+$ (приближении к нулю справа), $y \to +\infty$.

При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Схематически это кривая, которая начинается в левом верхнем углу первой и четвертой четверти, проходит через точку $(1,0)$ и убывает вправо.

Ответ: График — убывающая кривая, расположенная в правой полуплоскости. Пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$. Ось ординат ($x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится вверх при $x \to 0^+$.

4) $y = \log_{\frac{1}{5}} x$

Основание $a = \frac{1}{5} = 0,2$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.

График проходит через точки $(1, 0)$ и $(\frac{1}{5}, 1)$ или $(0.2, 1)$.

При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$.

График похож на $y=\log_{0,4}x$. Поскольку основание $0,2$ меньше $0,4$, он убывает "круче", чем график $y=\log_{0,4}x$.

Ответ: График — убывающая кривая, расположенная в правой полуплоскости, по форме похожая на график $y=\log_{0,4}x$. Пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$. Ось ординат ($x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится вверх при $x \to 0^+$.