Номер 329, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 329, страница 104.

Условие.

329 Доказать, что функция $y = \log_2 (x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $(1; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, мы найдем её производную и определим знак этой производной на указанном промежутке. Если производная положительна, то функция возрастает.

Заданная функция: $y = \log_2(x^2 - 1)$.

1. Найдем область определения функции.

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

$x^2 > 1$

$|x| > 1$, что равносильно $x < -1$ или $x > 1$.

Область определения функции: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Указанный в задаче промежуток $(1; +\infty)$ полностью входит в область определения функции.

2. Найдем производную функции.

Функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ является сложной. Для нахождения её производной воспользуемся формулой производной сложной функции и формулой производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

$y'(x) = \left(\log_2(x^2 - 1)\right)' = \frac{(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1) \cdot \ln 2}$

Найдем производную аргумента: $(x^2 - 1)' = 2x$.

Подставим обратно в формулу:

$y'(x) = \frac{2x}{(x^2 - 1) \ln 2}$

3. Определим знак производной на промежутке $(1; +\infty)$.

Рассмотрим знак каждого множителя в выражении для производной $y'(x)$ на промежутке $(1; +\infty)$:

• Для числителя: если $x \in (1; +\infty)$, то $x > 1$, следовательно, $2x > 2$. Числитель $2x$ положителен.

• Для знаменателя: $\ln 2$ — это положительная константа, так как основание натурального логарифма $e \approx 2.718$ и $2 < e$. Ой, ошибка в рассуждении. Так как $2 > 1$, то $\ln 2 > \ln 1 = 0$. Значит, $\ln 2 > 0$.

• Для знаменателя: если $x \in (1; +\infty)$, то $x > 1$, значит $x^2 > 1$, и $x^2 - 1 > 0$.

Таким образом, на промежутке $(1; +\infty)$ числитель ($2x$) положителен, и оба множителя в знаменателе ($(x^2 - 1)$ и $\ln 2$) также положительны. Это означает, что вся дробь положительна:

$y'(x) = \frac{2x}{(x^2 - 1) \ln 2} > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

4. Вывод.

Поскольку производная функции $y'(x)$ положительна на всём промежутке $(1; +\infty)$, функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ монотонно возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как производная функции $y'(x) = \frac{2x}{(x^2 - 1) \ln 2}$ положительна для всех $x$ из промежутка $(1; +\infty)$, то функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на этом промежутке.