Номер 335, страница 105 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 18. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 335, страница 105.

335 Найти область определения функции:

1) $ y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8|; $

2) $ y = \log_{0.3} \sqrt{x + 1} + \log_{0.4} (1 - 8x^3). $

1) Область определения функции $y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8|$ находится из условия, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Для данной функции это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства:
$|3 - x| > 0$ и $|x^3 - 8| > 0$.
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
Первое неравенство: $|3 - x| > 0$.
Модуль любого выражения не отрицателен. Он равен нулю только тогда, когда выражение под модулем равно нулю. Следовательно, чтобы модуль был больше нуля, нужно, чтобы выражение под ним не было равно нулю.
$3 - x \neq 0$
$x \neq 3$
Второе неравенство: $|x^3 - 8| > 0$.
Аналогично, выражение под модулем не должно быть равно нулю.
$x^3 - 8 \neq 0$
$x^3 \neq 8$
$x \neq \sqrt[3]{8}$
$x \neq 2$
Область определения функции — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, то есть $x \neq 3$ и $x \neq 2$.
Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме 2 и 3.
В виде интервалов это можно записать как $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \log_{0.3} \sqrt{x+1} + \log_{0.4} (1 - 8x^3)$ определяется системой неравенств, вытекающих из свойств логарифмической функции и квадратного корня.
1. Аргумент логарифма должен быть строго положителен.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Запишем систему условий:
$ \begin{cases} \sqrt{x+1} > 0 \\ 1 - 8x^3 > 0 \end{cases}$
Рассмотрим первое неравенство: $\sqrt{x+1} > 0$.
Квадратный корень всегда неотрицателен. Он равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю. Чтобы корень был строго больше нуля, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$x+1 > 0$
$x > -1$
(Это условие автоматически обеспечивает, что $x+1 \geq 0$, необходимое для существования корня).
Рассмотрим второе неравенство: $1 - 8x^3 > 0$.
$1 > 8x^3$
$\frac{1}{8} > x^3$
$x^3 < \frac{1}{8}$
$x < \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$
$x < \frac{1}{2}$
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > -1$ и $x < \frac{1}{2}$.
$-1 < x < \frac{1}{2}$
Следовательно, область определения функции — это интервал $(-1; \frac{1}{2})$.
Ответ: $D(y) = (-1; \frac{1}{2})$.