Номер 340, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 340, страница 108.

Условие.

340 1) $ \log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5); $

2) $ \log_{\frac{1}{2}} (3x - 1) = \log_{\frac{1}{2}} (6x + 8). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 5x + 3 = 7x + 5 \\ 5x + 3 > 0 \\ 7x + 5 > 0 \end{cases} $

Сначала решим основное уравнение:

$5x + 3 = 7x + 5$

$3 - 5 = 7x - 5x$

$-2 = 2x$

$x = -1$

Теперь выполним проверку, подставив найденное значение $x = -1$ в неравенства ОДЗ.

Проверка для первого аргумента:

$5x + 3 > 0$

$5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2$

Так как $-2 \ngtr 0$, условие не выполняется. Это означает, что корень $x = -1$ является посторонним и не входит в область допустимых значений.

Проверка для второго аргумента также покажет, что он отрицателен:

$7(-1) + 5 = -7 + 5 = -2$

Поскольку единственный потенциальный корень не удовлетворяет ОДЗ, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

2) $\log_{\frac{1}{2}} (3x - 1) = \log_{\frac{1}{2}} (6x + 8)$

Аналогично предыдущему пункту, приравниваем аргументы логарифмов, так как основания одинаковы. Также учитываем ОДЗ, согласно которому оба аргумента должны быть положительными.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 3x - 1 = 6x + 8 \\ 3x - 1 > 0 \\ 6x + 8 > 0 \end{cases} $

Решаем уравнение:

$3x - 1 = 6x + 8$

$-1 - 8 = 6x - 3x$

$-9 = 3x$

$x = -3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -3$ области допустимых значений. Подставим его в первое неравенство ОДЗ:

$3x - 1 > 0$

$3(-3) - 1 = -9 - 1 = -10$

Так как $-10 \ngtr 0$, условие не выполняется. Следовательно, $x = -3$ — посторонний корень.

Таким образом, у данного уравнения нет действительных решений.

Ответ: корней нет.