Номер 341, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 341, страница 108.

Условие.

341 1) $\log_7 (x - 1) \log_7 x = \log_7 x;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} x \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2);$

3) $\log_2 (3x + 1) \log_3 x = 2 \log_2 (3x + 1);$

4) $\log_{\sqrt{3}} (x - 2) \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $log_7(x - 1) log_7x = log_7x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$log_7(x - 1) log_7x - log_7x = 0$
Вынесем общий множитель $log_7x$ за скобки:
$log_7x (log_7(x - 1) - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $log_7x = 0$.
По определению логарифма: $x = 7^0 = 1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$), поэтому он является посторонним.
Случай 2: $log_7(x - 1) - 1 = 0$.
$log_7(x - 1) = 1$
По определению логарифма: $x - 1 = 7^1 = 7$.
$x = 7 + 1 = 8$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($8 > 1$).
Ответ: 8.

2) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{3}}x \cdot log_{\frac{1}{3}}(3x - 2) = log_{\frac{1}{3}}(3x - 2)$.
ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x > 2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $x > \frac{2}{3}$.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$log_{\frac{1}{3}}x \cdot log_{\frac{1}{3}}(3x - 2) - log_{\frac{1}{3}}(3x - 2) = 0$
Вынесем общий множитель $log_{\frac{1}{3}}(3x - 2)$ за скобки:
$log_{\frac{1}{3}}(3x - 2) (log_{\frac{1}{3}}x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $log_{\frac{1}{3}}(3x - 2) = 0$.
$3x - 2 = (\frac{1}{3})^0 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > \frac{2}{3}$).
Случай 2: $log_{\frac{1}{3}}x - 1 = 0$.
$log_{\frac{1}{3}}x = 1$
$x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$), поэтому он является посторонним.
Ответ: 1.

3) Исходное уравнение: $log_2(3x + 1) log_3x = 2 log_2(3x + 1)$.
ОДЗ:
$ \begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$log_2(3x + 1) log_3x - 2 log_2(3x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $log_2(3x + 1)$ за скобки:
$log_2(3x + 1) (log_3x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $log_2(3x + 1) = 0$.
$3x + 1 = 2^0 = 1$
$3x = 0$
$x = 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), поэтому он является посторонним.
Случай 2: $log_3x - 2 = 0$.
$log_3x = 2$
$x = 3^2 = 9$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($9 > 0$).
Ответ: 9.

4) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{3}}(x - 2) log_5x = 2 log_3(x - 2)$.
ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $x > 2$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $log_{a^k}b = \frac{1}{k}log_ab$.
$log_{\sqrt{3}}(x - 2) = log_{3^{1/2}}(x - 2) = \frac{1}{1/2}log_3(x - 2) = 2log_3(x - 2)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2log_3(x - 2) log_5x = 2 log_3(x - 2)$
Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2:
$2log_3(x - 2) log_5x - 2 log_3(x - 2) = 0$
$log_3(x - 2) log_5x - log_3(x - 2) = 0$
Вынесем общий множитель $log_3(x - 2)$ за скобки:
$log_3(x - 2) (log_5x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $log_3(x - 2) = 0$.
$x - 2 = 3^0 = 1$
$x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 > 2$).
Случай 2: $log_5x - 1 = 0$.
$log_5x = 1$
$x = 5^1 = 5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($5 > 2$).
Ответ: 3; 5.