Номер 322, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 322, страница 104.

Условие.

322 Построить график функции:

1) $y = \log_2 x$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \log_2 x$

Для построения графика логарифмической функции $y = \log_2 x$ выполним следующие шаги:

1. Область определения функции. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения: $(0; +\infty)$.

2. Область значений функции. Множеством значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел: $(-\infty; +\infty)$.

3. Поведение функции. Основание логарифма $a=2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

4. Асимптоты и точки пересечения с осями.
График не пересекает ось $Oy$, так как $x$ не может быть равен нулю. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график приближается при $x \to 0^+$, при этом $y \to -\infty$.
Для нахождения точки пересечения с осью $Ox$, приравняем $y$ к нулю: $\log_2 x = 0$, откуда $x = 2^0 = 1$. Точка пересечения с осью $Ox$ — $(1, 0)$.

5. Вычисление ключевых точек. Найдем значения функции для нескольких удобных значений $x$ (являющихся степенями двойки):
- при $x = 1/4$, $y = \log_2 (1/4) = \log_2 (2^{-2}) = -2$;
- при $x = 1/2$, $y = \log_2 (1/2) = \log_2 (2^{-1}) = -1$;
- при $x = 1$, $y = \log_2 1 = 0$;
- при $x = 2$, $y = \log_2 2 = 1$;
- при $x = 4$, $y = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$;
- при $x = 8$, $y = \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$.
Получаем точки: $(\frac{1}{4}, -2)$, $(\frac{1}{2}, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(8, 3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, учитывая асимптоту и возрастающий характер функции.