Номер 316, страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 316, страница 100.

Условие.

316 При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется $1,2\%$ имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть первоначальной массы воздуха?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим начальную массу воздуха в сосуде как $m_0$.

При каждом качании насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нём воздуха. Это означает, что после одного качания в сосуде остаётся $100\% - 1.2\% = 98.8\%$ воздуха от массы, которая была перед качанием. Чтобы найти оставшуюся массу, нужно умножить предыдущую массу на коэффициент $0.988$.

После первого качания ($n=1$) масса оставшегося воздуха составит:$m_1 = m_0 \cdot (1 - \frac{1.2}{100}) = m_0 \cdot 0.988$.

После второго качания ($n=2$) масса оставшегося воздуха составит:$m_2 = m_1 \cdot 0.988 = (m_0 \cdot 0.988) \cdot 0.988 = m_0 \cdot (0.988)^2$.

Таким образом, мы видим, что масса воздуха, остающаяся в сосуде после $n$ качаний, описывается формулой геометрической прогрессии:$m_n = m_0 \cdot (0.988)^n$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти такое количество качаний $n$, после которого в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть первоначальной массы воздуха. Запишем это в виде уравнения:$m_n = m_0 \cdot \frac{1}{10^{16}}$.

Приравняем два выражения для $m_n$:$m_0 \cdot (0.988)^n = m_0 \cdot \frac{1}{10^{16}}$.

Разделим обе части уравнения на $m_0$ (так как начальная масса не равна нулю):$(0.988)^n = \frac{1}{10^{16}}$, что то же самое, что и $(0.988)^n = 10^{-16}$.

Для решения этого показательного уравнения относительно $n$, прологарифмируем обе части по основанию 10:$\lg((0.988)^n) = \lg(10^{-16})$.

Используя свойство логарифма степени ($\lg(a^b) = b \cdot \lg(a)$), получаем:$n \cdot \lg(0.988) = -16$.

Отсюда выразим $n$:$n = \frac{-16}{\lg(0.988)}$.

Вычислим значение $\lg(0.988)$:$\lg(0.988) \approx -0.005243$.

Теперь можем найти $n$:$n = \frac{-16}{-0.005243} \approx 3051.7$.

Поскольку число качаний $n$ должно быть целым, а после 3051 качания масса воздуха будет все еще больше, чем $\frac{1}{10^{16}}$ от первоначальной, необходимо совершить следующее, 3052-е качание, чтобы оставшаяся масса стала меньше или равна требуемой. Следовательно, необходимое количество качаний равно 3052.

Ответ: 3052 качания.