Номер 311, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 311, страница 99.

Условие.

311 Дано: $\log_{36} 8 = m$. Найти: $\log_{36} 9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи мы выразим искомое значение $\log_{36} 9$ через данное значение $m = \log_{36} 8$. Мы будем использовать свойства логарифмов и тот факт, что основание логарифма 36, а также числа 8 и 9 можно разложить на простые множители 2 и 3.

Сначала преобразуем данное нам выражение:

$m = \log_{36} 8 = \log_{36} (2^3)$

Используя свойство логарифма $\log_a (b^k) = k \log_a b$, получаем:

$m = 3 \log_{36} 2$

Отсюда мы можем выразить $\log_{36} 2$:

$\log_{36} 2 = \frac{m}{3}$

Теперь воспользуемся тем, что $\log_{36} 36 = 1$. Разложим 36 на множители, связанные с числами 2 и 3: $36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$.

$\log_{36} 36 = \log_{36} (2^2 \cdot 3^2) = 1$

Используя свойство логарифма произведения $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_{36} (2^2) + \log_{36} (3^2) = 1$

Снова применим свойство степени:

$2 \log_{36} 2 + 2 \log_{36} 3 = 1$

Заметим, что искомое выражение $\log_{36} 9$ можно представить как $\log_{36} (3^2) = 2 \log_{36} 3$. Подставим это в наше уравнение:

$2 \log_{36} 2 + \log_{36} 9 = 1$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $\log_{36} 2 = \frac{m}{3}$:

$2 \left( \frac{m}{3} \right) + \log_{36} 9 = 1$

$\frac{2m}{3} + \log_{36} 9 = 1$

Выразим отсюда искомое значение $\log_{36} 9$:

$\log_{36} 9 = 1 - \frac{2m}{3}$

Ответ: $1 - \frac{2m}{3}$