Номер 306, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 306, страница 99.

Условие.

306 Вычислить:

1) $5^{\frac{\lg 625}{\lg 25}}$

2) $\log_{\frac{1}{4}}(\log_3 4 \cdot \log_2 3)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. В нашем случае, $\lg$ - это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

Преобразуем показатель степени, используя указанную формулу:

$\frac{\lg 625}{\lg 25} = \log_{25} 625$

Теперь вычислим значение получившегося логарифма. Нам нужно найти такое число $x$, что $25^x = 625$.

Поскольку $25^2 = 625$, то $\log_{25} 625 = 2$.

Подставим найденное значение обратно в исходное выражение:

$5^{\frac{\lg 625}{\lg 25}} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

2) Сначала упростим выражение, стоящее под знаком внешнего логарифма: $\log_3 4 \cdot \log_2 3$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Применим ее к первому множителю $\log_3 4$, перейдя к основанию 2:

$\log_3 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3}$

Теперь подставим это в произведение:

$\log_3 4 \cdot \log_2 3 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3} \cdot \log_2 3$

Сократив $\log_2 3$, получим:

$\log_2 4 = 2$, так как $2^2 = 4$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{4}}(2)$

Пусть $\log_{\frac{1}{4}}(2) = x$. По определению логарифма, это равенство эквивалентно следующему:

$(\frac{1}{4})^x = 2$

Представим основание степени $\frac{1}{4}$ как степень числа 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Подставим это в уравнение:

$(2^{-2})^x = 2^1$

$2^{-2x} = 2^1$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2x = 1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: -0.5