Номер 307, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 17. Десятичные и натуральные логарифмы. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 307, страница 99.

307 Решить уравнение:

1) $\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2;$

2) $\log_2 x - 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9;$

3) $\log_3 x = 9 \log_{27} 8 - 3 \log_3 4;$

4) $\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3;$

5) $\log_2 x + \log_8 x = 8;$

6) $\log_4 x - \log_{16} x = \frac{1}{4}.$

1) $\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения, приведя все логарифмы к основанию 5. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов: $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$2 \log_5 3 = \log_5 3^2 = \log_5 9$.

$4 \log_{25} 2 = 4 \log_{5^2} 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_5 2 = 2 \log_5 2 = \log_5 2^2 = \log_5 4$.

Теперь уравнение принимает вид:

$\log_5 x = \log_5 9 + \log_5 4$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_5 x = \log_5 (9 \cdot 4) = \log_5 36$.

Так как основания логарифмов равны, то равны и их аргументы:

$x = 36$.

Найденное значение $x = 36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 > 0$).

Ответ: $36$.

2) $\log_2 x - 2 \log_{1/2} x = 9$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Используем свойство $\log_{1/a} b = \log_{a^{-1}} b = -\log_a b$.

$\log_{1/2} x = -\log_2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_2 x - 2(-\log_2 x) = 9$.

$\log_2 x + 2\log_2 x = 9$.

$3\log_2 x = 9$.

$\log_2 x = 3$.

По определению логарифма:

$x = 2^3 = 8$.

Корень $x = 8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).

Ответ: $8$.

3) $\log_3 x = 9 \log_{27} 8 - 3 \log_3 4$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения, приведя логарифмы к основанию 3:

$9 \log_{27} 8 = 9 \log_{3^3} 8 = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 8 = 3 \log_3 8 = \log_3 8^3 = \log_3 512$.

$3 \log_3 4 = \log_3 4^3 = \log_3 64$.

Подставим в уравнение:

$\log_3 x = \log_3 512 - \log_3 64$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_3 x = \log_3 \frac{512}{64} = \log_3 8$.

Следовательно, $x = 8$.

Корень $x = 8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).

Ответ: $8$.

4) $\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3$

ОДЗ определяется условиями $x^2 > 0$ и $x > 0$, что равносильно $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 3:

$\log_9 x^2 = \log_{3^2} x^2 = \frac{2}{2}\log_3 |x| = \log_3 x$ (так как по ОДЗ $x>0$, то $|x|=x$).

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\log_3 x = 2\log_3 x$.

Подставим в уравнение:

$\log_3 x + 2\log_3 x = 3$.

$3\log_3 x = 3$.

$\log_3 x = 1$.

По определению логарифма $x = 3^1 = 3$.

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$).

Ответ: $3$.

5) $\log_2 x + \log_8 x = 8$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 2:

$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3}\log_2 x$.

Подставим в уравнение:

$\log_2 x + \frac{1}{3}\log_2 x = 8$.

$(1 + \frac{1}{3})\log_2 x = 8$.

$\frac{4}{3}\log_2 x = 8$.

$\log_2 x = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$.

Тогда $x = 2^6 = 64$.

Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$).

Ответ: $64$.

6) $\log_4 x - \log_{16} x = \frac{1}{4}$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 4:

$\log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2}\log_4 x$.

Подставим в уравнение:

$\log_4 x - \frac{1}{2}\log_4 x = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{2}\log_4 x = \frac{1}{4}$.

$\log_4 x = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

По определению логарифма $x = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).

Ответ: $2$.