Номер 266, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 266, страница 92.

Условие.

266 Найти логарифмы чисел по основанию 3:

3, 9, 27, 81, 1, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{243}$, $\sqrt[3]{3}$, $\frac{1}{3\sqrt{3}}$, $9\sqrt[4]{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

3
Чтобы найти логарифм числа 3 по основанию 3, то есть $\log_3 3$, необходимо найти такую степень $x$, что $3^x = 3$.
Очевидно, что $3^1 = 3$, следовательно, $x=1$.
$\log_3 3 = 1$.
Ответ: 1

9
Чтобы найти $\log_3 9$, необходимо решить уравнение $3^x = 9$.
Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
Тогда уравнение принимает вид $3^x = 3^2$, откуда $x=2$.
$\log_3 9 = 2$.
Ответ: 2

27
Чтобы найти $\log_3 27$, необходимо решить уравнение $3^x = 27$.
Представим число 27 в виде степени с основанием 3: $27 = 3^3$.
Тогда уравнение принимает вид $3^x = 3^3$, откуда $x=3$.
$\log_3 27 = 3$.
Ответ: 3

81
Чтобы найти $\log_3 81$, необходимо решить уравнение $3^x = 81$.
Представим число 81 в виде степени с основанием 3: $81 = 3^4$.
Тогда уравнение принимает вид $3^x = 3^4$, откуда $x=4$.
$\log_3 81 = 4$.
Ответ: 4

1
Чтобы найти $\log_3 1$, необходимо решить уравнение $3^x = 1$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $3^0 = 1$.
Следовательно, $x=0$.
$\log_3 1 = 0$.
Ответ: 0

$\frac{1}{3}$
Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{3}$, необходимо решить уравнение $3^x = \frac{1}{3}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), представим $\frac{1}{3}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Тогда $3^x = 3^{-1}$, откуда $x=-1$.
$\log_3 \frac{1}{3} = -1$.
Ответ: -1

$\frac{1}{9}$
Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{9}$, необходимо решить уравнение $3^x = \frac{1}{9}$.
Представим $\frac{1}{9}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Тогда $3^x = 3^{-2}$, откуда $x=-2$.
$\log_3 \frac{1}{9} = -2$.
Ответ: -2

$\frac{1}{243}$
Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{243}$, необходимо решить уравнение $3^x = \frac{1}{243}$.
Сначала представим 243 как степень тройки: $243 = 3^5$.
Тогда $\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$.
Следовательно, $3^x = 3^{-5}$, откуда $x=-5$.
$\log_3 \frac{1}{243} = -5$.
Ответ: -5

$\sqrt[3]{3}$
Чтобы найти $\log_3 \sqrt[3]{3}$, необходимо решить уравнение $3^x = \sqrt[3]{3}$.
Используя определение корня n-ой степени ($\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$), представим $\sqrt[3]{3}$ как степень с основанием 3: $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$.
Тогда $3^x = 3^{1/3}$, откуда $x=\frac{1}{3}$.
$\log_3 \sqrt[3]{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3\sqrt{3}}$
Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$, необходимо решить уравнение $3^x = \frac{1}{3\sqrt{3}}$.
Сначала преобразуем знаменатель, представив его как степень с основанием 3. Так как $3 = 3^1$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{3/2}$.
Тогда $\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{3/2}} = 3^{-3/2}$.
Следовательно, $3^x = 3^{-3/2}$, откуда $x = -\frac{3}{2}$.
$\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$

$9\sqrt[4]{3}$
Чтобы найти $\log_3(9\sqrt[4]{3})$, необходимо решить уравнение $3^x = 9\sqrt[4]{3}$.
Представим выражение $9\sqrt[4]{3}$ как степень с основанием 3. Так как $9 = 3^2$ и $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$, то $9\sqrt[4]{3} = 3^2 \cdot 3^{1/4} = 3^{2+\frac{1}{4}} = 3^{9/4}$.
Следовательно, $3^x = 3^{9/4}$, откуда $x = \frac{9}{4}$.
$\log_3(9\sqrt[4]{3}) = \frac{9}{4}$.
Ответ: $\frac{9}{4}$