Номер 260, страница 89 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 260, страница 89.

Условие.

260 1) $2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x;$

2) $5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0;$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести $2^x$ и $5^x$ за скобки.
Левая часть: $2^x \cdot 2^4 + 2^x \cdot 2^2 = 2^x(16+4) = 20 \cdot 2^x$.
Правая часть: $5^x \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^x = 5^x(5+3) = 8 \cdot 5^x$.
Получаем уравнение: $20 \cdot 2^x = 8 \cdot 5^x$.
Разделим обе части на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ при любом $x$) и на 20:
$\frac{2^x}{5^x} = \frac{8}{20}$
Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и сократим дробь:
$(\frac{2}{5})^x = \frac{2}{5}$
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:
$x=1$.
Ответ: $1$.

2) $5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$(5^{2x} - 17 \cdot 5^{2x}) + (17 \cdot 7^x - 7^x) = 0$
Вынесем общие множители за скобки:
$5^{2x}(1 - 17) + 7^x(17 - 1) = 0$
$-16 \cdot 5^{2x} + 16 \cdot 7^x = 0$
Перенесем одно из слагаемых в правую часть и разделим на 16:
$16 \cdot 7^x = 16 \cdot 5^{2x}$
$7^x = 5^{2x}$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$.
$7^x = 25^x$
Разделим обе части на $25^x$ (так как $25^x > 0$):
$\frac{7^x}{25^x} = 1$
$(\frac{7}{25})^x = 1$
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому:
$x=0$.
Ответ: $0$.

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$
Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$2^{x^2} \cdot 2^{-1} + 2^{x^2} \cdot 2^2 = 3^{x^2} \cdot 3^{-1} + 3^{x^2}$
Вынесем общие множители $2^{x^2}$ и $3^{x^2}$ за скобки:
$2^{x^2}(\frac{1}{2} + 4) = 3^{x^2}(\frac{1}{3} + 1)$
$2^{x^2}(\frac{1+8}{2}) = 3^{x^2}(\frac{1+3}{3})$
$2^{x^2} \cdot \frac{9}{2} = 3^{x^2} \cdot \frac{4}{3}$
Разделим обе части уравнения так, чтобы с одной стороны были степени, а с другой — числа:
$\frac{2^{x^2}}{3^{x^2}} = \frac{4/3}{9/2}$
$(\frac{2}{3})^{x^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{27}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^{x^2} = (\frac{2}{3})^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

4) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$
Сгруппируем слагаемые с основаниями 9 в левой части, а с основаниями 4 — в правой:
$\frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = 6 \cdot 4^{x+1} - 3 \cdot 4^x$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$\frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 9^2 + \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9^1 = 6 \cdot 4^x \cdot 4^1 - 3 \cdot 4^x$
Вынесем общие множители $9^x$ и $4^x$ за скобки:
$9^x(\frac{1}{3} \cdot 81 + \frac{1}{2} \cdot 9) = 4^x(6 \cdot 4 - 3)$
$9^x(27 + \frac{9}{2}) = 4^x(24 - 3)$
$9^x(\frac{54+9}{2}) = 4^x(21)$
$9^x \cdot \frac{63}{2} = 4^x \cdot 21$
Разделим обе части уравнения, чтобы сгруппировать степени с $x$:
$\frac{9^x}{4^x} = \frac{21}{63/2}$
$(\frac{9}{4})^x = 21 \cdot \frac{2}{63}$
$(\frac{9}{4})^x = \frac{2}{3}$
Представим левую часть как степень $(\frac{3}{2})^{2x}$, а правую как $(\frac{3}{2})^{-1}$:
$((\frac{3}{2})^2)^x = (\frac{3}{2})^{-1}$
$(\frac{3}{2})^{2x} = (\frac{3}{2})^{-1}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-0.5$.