Номер 264, страница 89 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 3. Глава 3. Показательная функция - номер 264, страница 89.

264 Решить уравнение:

1) $\frac{0,2^{x+0,5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0,04^x$

2) $4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}$

3) $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 25^x = 0$

4) $4 \cdot 9^x + 12^x - 3 \cdot 16^x = 0$

1) $\frac{0,2^{x+0,5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0,04^x$

Для решения этого показательного уравнения приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5. Вспомним следующие соотношения:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} = 5^{0,5}$

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{(5^{-1})^{x+0,5}}{5^{0,5}} = 5^1 \cdot (5^{-2})^x$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для упрощения уравнения:

$\frac{5^{-x-0,5}}{5^{0,5}} = 5^{1-2x}$

$5^{-x-0,5-0,5} = 5^{1-2x}$

$5^{-x-1} = 5^{1-2x}$

Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели:

$-x - 1 = 1 - 2x$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x - x = 1 + 1$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}$

Заметим, что $3^x = (3^{\frac{x}{2}})^2$ и $2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2$. Перепишем уравнение в этом виде:

$4 \cdot (3^{\frac{x}{2}})^2 - 9 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}$

Это однородное показательное уравнение. Чтобы его решить, разделим обе части на $(2^{\frac{x}{2}})^2 = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом действительном $x$, это преобразование является равносильным.

$4 \cdot \frac{(3^{\frac{x}{2}})^2}{(2^{\frac{x}{2}})^2} - 9 \cdot \frac{(2^{\frac{x}{2}})^2}{(2^{\frac{x}{2}})^2} = 5 \cdot \frac{3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}}{(2^{\frac{x}{2}})^2}$

$4 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^2 - 9 = 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}$

Произведем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, $t > 0$. Тогда уравнение примет вид квадратного:

$4t^2 - 5t - 9 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$t_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$t_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной, используя корень $t_2 = \frac{9}{4}$:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{9}{4}$

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = 2$, откуда $x = 4$.

Ответ: $4$

3) $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 25^x = 0$

Представим основания степеней через простые множители 2 и 5: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$, $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим все его члены на $(5^x)^2 = 25^x$ (это выражение всегда положительно):

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 5 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Найдем его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{5}{2}$:

$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2}$

Так как $\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$, то:

$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$

Отсюда $x = -1$.

Ответ: $-1$

4) $4 \cdot 9^x + 12^x - 3 \cdot 16^x = 0$

Представим основания степеней через степени чисел 3 и 4: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$, $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$4 \cdot (3^x)^2 + 3^x \cdot 4^x - 3 \cdot (4^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим все его члены на $(4^x)^2 = 16^x$, которое всегда положительно:

$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} + \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} - 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{4}\right)^x - 3 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $4t^2 + t - 3 = 0$.

Найдем его корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{3}{4}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$

Отсюда $x = 1$.

Ответ: $1$