Номер 259, страница 89 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 259, страница 89.

Условие.

259 1) $2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x-\frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1};$

2) $2^{\sqrt{x+2}} - 2^{\sqrt{x+1}} = 12 + 2^{\sqrt{x-1}};$

3) $22 \cdot 9^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4;$

4) $5 \cdot 4^{x-1} - 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{\frac{x-2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

Приведем все степени в уравнении к основанию 3, используя свойства $a^{mn} = (a^m)^n$, $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

$2 \cdot 3^{3x-1} + (3^3)^{\frac{x-2}{3}} = (3^2)^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

$2 \cdot 3^{3x-1} + 3^{3 \cdot \frac{x-2}{3}} = 3^{2(x-1)} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

$2 \cdot 3^{3x-1} + 3^{x-2} = 3^{2x-2} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

Используем свойство $a^{m-n} = a^m / a^n$ и вынесем общие множители:

$2 \cdot \frac{3^{3x}}{3} + \frac{3^x}{3^2} = \frac{3^{2x}}{3^2} + 2 \cdot \frac{3^{2x}}{3}$

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3x} + \frac{1}{9} \cdot 3^x = \frac{1}{9} \cdot 3^{2x} + \frac{2}{3} \cdot 3^{2x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.

$\frac{2}{3} y^3 + \frac{1}{9} y = \frac{1}{9} y^2 + \frac{2}{3} y^2$

$\frac{2}{3} y^3 + \frac{1}{9} y = (\frac{1}{9} + \frac{6}{9}) y^2$

$\frac{2}{3} y^3 + \frac{1}{9} y = \frac{7}{9} y^2$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:

$6y^3 + y = 7y^2$

Перенесем все члены в левую часть и решим уравнение:

$6y^3 - 7y^2 + y = 0$

$y(6y^2 - 7y + 1) = 0$

Так как $y > 0$, то $y \neq 0$. Разделим на $y$:

$6y^2 - 7y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.

$y_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$y_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Оба корня положительны. Вернемся к замене:

1) $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$.

2) $3^x = \frac{1}{6} \implies x = \log_3(\frac{1}{6}) \implies x = -\log_3(6)$.

Ответ: $0; -\log_3(6)$.

---

2) $2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 + 2^{\sqrt{x}-1}$

Область допустимых значений: $x \ge 0$.

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $2^{\sqrt{x}}$ за скобки, предварительно перенеся все члены с переменной в левую часть:

$2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} - 2^{\sqrt{x}-1} = 12$

$2^{\sqrt{x}} \cdot 2^2 - 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^1 - 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^{-1} = 12$

$2^{\sqrt{x}} (4 - 2 - \frac{1}{2}) = 12$

$2^{\sqrt{x}} (2 - \frac{1}{2}) = 12$

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{2} = 12$

Выразим $2^{\sqrt{x}}$:

$2^{\sqrt{x}} = 12 \cdot \frac{2}{3}$

$2^{\sqrt{x}} = 8$

Представим 8 как степень двойки:

$2^{\sqrt{x}} = 2^3$

Приравняем показатели степеней:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 9$

Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Ответ: $9$.

---

3) $22 \cdot 9^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4$

Приведем все степени к основанию 3:

$22 \cdot (3^2)^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4$

$22 \cdot 3^{2x-2} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n}=a^m/a^n$:

$22 \cdot \frac{3^{2x}}{3^2} - \frac{1}{3} \cdot 3^x \cdot 3^3 + \frac{1}{3} \cdot 3^x \cdot 3^2 = 4$

$\frac{22}{9} \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 4$

$\frac{22}{9} \cdot (3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$, где $y > 0$.

$\frac{22}{9} y^2 - 6y - 4 = 0$

Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от дроби:

$22y^2 - 54y - 36 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$11y^2 - 27y - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-27)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-18) = 729 + 792 = 1521 = 39^2$.

$y_1 = \frac{27 - 39}{2 \cdot 11} = \frac{-12}{22} = -\frac{6}{11}$

$y_2 = \frac{27 + 39}{2 \cdot 11} = \frac{66}{22} = 3$

Корень $y_1 = -6/11$ не удовлетворяет условию $y > 0$.

Вернемся к замене с $y_2 = 3$:

$3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ: $1$.

---

4) $5 \cdot 4^{x-1} - 16^x + 0,25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0$

Приведем все степени к одному основанию, например, к 4. Заметим, что $16=4^2$, $0,25 = 1/4$, и $2^{2x+2} = 2^{2(x+1)} = (2^2)^{x+1} = 4^{x+1}$.

$5 \cdot 4^{x-1} - (4^2)^x + \frac{1}{4} \cdot 4^{x+1} + 7 = 0$

$5 \cdot \frac{4^x}{4} - (4^x)^2 + \frac{1}{4} \cdot (4^x \cdot 4) + 7 = 0$

$\frac{5}{4} \cdot 4^x - (4^x)^2 + 4^x + 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 4^x$, где $y > 0$.

$\frac{5}{4} y - y^2 + y + 7 = 0$

$-y^2 + (\frac{5}{4} + 1)y + 7 = 0$

$-y^2 + \frac{9}{4}y + 7 = 0$

Умножим уравнение на -4, чтобы избавиться от дроби и знака минус при старшем члене:

$4y^2 - 9y - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-28) = 81 + 448 = 529 = 23^2$.

$y_1 = \frac{9 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$

$y_2 = \frac{9 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

Корень $y_1 = -7/4$ не удовлетворяет условию $y > 0$.

Вернемся к замене с $y_2 = 4$:

$4^x = 4 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$.

Ответ: $1$.