Номер 256, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 256, страница 88.

Условие.

256 За первый год работы предприятие имело $a$ рублей прибыли.

В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на $p\%$.

Какой станет прибыль предприятия за $n$-й год работы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данная задача описывает последовательность ежегодных прибылей, которая представляет собой геометрическую прогрессию. Давайте определим её параметры и выведем формулу для прибыли за $n$-й год.

Пусть $P_n$ — прибыль предприятия за $n$-й год.

По условию, прибыль за первый год (первый член прогрессии) составляет:

$P_1 = a$

Каждый последующий год прибыль увеличивается на $p\%$. Это означает, что прибыль каждого следующего года получается путем умножения прибыли предыдущего года на коэффициент $1 + \frac{p}{100}$. Этот коэффициент является знаменателем геометрической прогрессии $q$.

$q = 1 + \frac{p}{100}$

Найдем прибыль за второй год ($P_2$):

$P_2 = P_1 \cdot q = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Найдем прибыль за третий год ($P_3$):

$P_3 = P_2 \cdot q = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Как мы видим, прибыль за год с номером $k$ вычисляется по формуле $P_k = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{k-1}$. Это соответствует общей формуле для $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Следовательно, для нахождения прибыли за $n$-й год работы предприятия, мы используем эту формулу:

$P_n = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n-1}$

Ответ: Прибыль предприятия за $n$-й год работы составит $a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n-1}$ рублей.