Номер 254, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 254, страница 88.

Условие.

254 Решить графически уравнение:

1) $2^{-x} = 3x + 10;

2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-x} = 2x + 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы решить уравнение $2^{-x} = 3x + 10$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2^{-x}$ и $y = 3x + 10$.

Первая функция $y = 2^{-x}$ (или $y = (\frac{1}{2})^x$) — это показательная функция. Её график является убывающей кривой. Найдём несколько точек для построения графика:
- при $x = -3$, $y = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8$. Точка $(-3, 8)$.
- при $x = -2$, $y = 2^{-(-2)} = 2^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
- при $x = -1$, $y = 2^{-(-1)} = 2^1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
- при $x = 0$, $y = 2^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- при $x = 1$, $y = 2^{-1} = 0.5$. Точка $(1, 0.5)$.

Вторая функция $y = 3x + 10$ — это линейная функция. Её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:
- при $x = -3$, $y = 3(-3) + 10 = -9 + 10 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
- при $x = -2$, $y = 3(-2) + 10 = -6 + 10 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
- при $x = 0$, $y = 3(0) + 10 = 10$. Точка $(0, 10)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из вычисленных значений видно, что это точка с координатами $(-2, 4)$.
Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.
Проверим найденное решение:
$2^{-(-2)} = 3(-2) + 10$
$2^2 = -6 + 10$
$4 = 4$
Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $x = -2$.

---

2) Сначала преобразуем левую часть уравнения: $(\frac{1}{3})^{-x} = (3^{-1})^{-x} = 3^x$.
Теперь уравнение имеет вид: $3^x = 2x + 5$.
Чтобы решить его графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 3^x$ и $y = 2x + 5$.

Первая функция $y = 3^x$ — это показательная функция. Её график является возрастающей кривой. Найдём несколько точек для построения графика:
- при $x = -1$, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Точка $(-1, 1/3)$.
- при $x = 0$, $y = 3^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$. Точка $(1, 3)$.
- при $x = 2$, $y = 3^2 = 9$. Точка $(2, 9)$.

Вторая функция $y = 2x + 5$ — это линейная функция, её график — прямая. Найдём две точки для её построения:
- при $x = 0$, $y = 2(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
- при $x = 2$, $y = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$. Точка $(2, 9)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Из вычисленных значений видно, что это точка с координатами $(2, 9)$.
Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Проверим найденное решение:
$3^2 = 2(2) + 5$
$9 = 4 + 5$
$9 = 9$
Равенство верное.

Ответ: $x = 2$.