Номер 247, страница 87 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 247, страница 87.

Условие.

247 Сравнить с единицей число:

1) $2^{-\sqrt{5}}$;

2) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$;

3) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2}$;

4) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8}-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сравнить число $2 - \sqrt{5}$ с единицей, найдем знак их разности: $(2 - \sqrt{5}) - 1 = 1 - \sqrt{5}$.
Для сравнения $1$ и $\sqrt{5}$ возведем оба числа в квадрат: $1^2 = 1$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $1 < 5$, то и $1 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{5}$ отрицательна: $1 - \sqrt{5} < 0$.
Это означает, что $2 - \sqrt{5} < 1$.
Ответ: $2 - \sqrt{5} < 1$.

2) Рассмотрим число $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$. Сравним его с числом $1$, которое можно представить как $(\frac{1}{2})^0$.
Основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Показательная функция $y = a^x$ с таким основанием является убывающей, то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $0$. Так как $3 > 0$, то $\sqrt{3} > 0$.
Поскольку функция убывающая и $\sqrt{3} > 0$, то $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < (\frac{1}{2})^0$.
Таким образом, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.

3) Рассмотрим число $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$.
Сначала проанализируем основание степени $a = \frac{\pi}{4}$. Так как число $\pi \approx 3.14159$, оно меньше 4. Следовательно, основание $a = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Показательная функция $y = a^x$ с таким основанием является убывающей.
Теперь проанализируем показатель степени $x = \sqrt{5}-2$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Возведем в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Следовательно, показатель степени $\sqrt{5}-2$ положителен: $\sqrt{5}-2 > 0$.
Теперь сравним исходное число с $1 = (\frac{\pi}{4})^0$. Так как функция убывающая, а показатель $\sqrt{5}-2 > 0$, то $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < (\frac{\pi}{4})^0 = 1$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.

4) Рассмотрим число $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$.
Основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Показательная функция $y = a^x$ с таким основанием является убывающей.
Теперь проанализируем показатель степени $x = \sqrt{8}-3$. Сравним $\sqrt{8}$ и $3$. Возведем в квадрат: $(\sqrt{8})^2=8$ и $3^2=9$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < 3$. Следовательно, показатель степени $\sqrt{8}-3$ отрицателен: $\sqrt{8}-3 < 0$.
Сравним исходное число с $1 = (\frac{1}{3})^0$. Так как функция убывающая, а показатель $\sqrt{8}-3 < 0$, то соответствующее значение функции будет больше, чем значение в точке 0. То есть, $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > (\frac{1}{3})^0 = 1$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.