Номер 244, страница 87 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 14. Системы показательных уравнений и неравенств - номер 244, страница 87.

Условие.

Решить систему (244—245).

244 1) $\begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}, \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}, \\ 3,7^{x^2} = 3,7^{0,04}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим данную систему, состоящую из показательного неравенства и показательного уравнения:

$ \begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$5^{2x+1} > 625$

Представим число 625 как степень с основанием 5:

$625 = 5^4$

Подставим это в неравенство:

$5^{2x+1} > 5^4$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x + 1 > 4$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

$x > 1.5$

Решением первого неравенства является интервал $(1.5; +\infty)$.

Теперь решим второе уравнение:

$11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6x^2 - 10x = 9x - 15$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$6x^2 - 10x - 9x + 15 = 0$

$6x^2 - 19x + 15 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{19 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19 - 1}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{19 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19 + 1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Решениями второго уравнения являются $x_1 = 1.5$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Теперь найдем решение системы. Для этого нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 1.5$ и $x \in \{1.5, \frac{5}{3}\}$.

Проверим корень $x_1 = 1.5$. Он не удовлетворяет условию $x > 1.5$, так как неравенство строгое.

Проверим корень $x_2 = \frac{5}{3}$. Сравним его с 1.5: $\frac{5}{3} \approx 1.67$, что больше чем 1.5. Следовательно, этот корень удовлетворяет условию $x > 1.5$.

Таким образом, единственным решением системы является $x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

2)

Решим данную систему, состоящую из двух показательных уравнений:

$ \begin{cases} 0.3^{10x^2 - 47x} = 0.3^{-10x - 7}, \\ 3.7^{x^2} = 3.7^{0.04} \end{cases} $

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решим первое уравнение:

$0.3^{10x^2 - 47x} = 0.3^{-10x - 7}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$10x^2 - 47x = -10x - 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$10x^2 - 47x + 10x + 7 = 0$

$10x^2 - 37x + 7 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 7 = 1369 - 280 = 1089$

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{37 - 33}{2 \cdot 10} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$

$x_2 = \frac{37 + 33}{2 \cdot 10} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2} = 3.5$

Решениями первого уравнения являются $x_1 = 0.2$ и $x_2 = 3.5$.

Теперь решим второе уравнение:

$3.7^{x^2} = 3.7^{0.04}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x^2 = 0.04$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm \sqrt{0.04}$

$x_3 = 0.2$ и $x_4 = -0.2$

Решениями второго уравнения являются $x_3 = 0.2$ и $x_4 = -0.2$.

Решением системы является общее решение для обоих уравнений. Сравним множества решений:

Решения первого уравнения: $\{0.2, 3.5\}$

Решения второго уравнения: $\{0.2, -0.2\}$

Общим решением является $x = 0.2$.

Ответ: $0.2$