Номер 241, страница 86 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 14. Системы показательных уравнений и неравенств - номер 241, страница 86.

Условие.

241 1) $\begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32, \\ 3^{8x+1} = 3^{3y}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^{3x-2y} = 81, \\ 3^6 \cdot 3^y = 27. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32 \\ 3^{8x+1} = 3^{3y} \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. Приведем все его части к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$. Подставим эти значения в уравнение: $(2^2)^x \cdot 2^y = 2^5$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{2x} \cdot 2^y = 2^5$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $2^{2x+y} = 2^5$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели: $2x+y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $3^{8x+1} = 3^{3y}$. Здесь основания степеней уже равны, поэтому просто приравниваем показатели: $8x+1 = 3y$

В результате мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x+y = 5 \\ 8x - 3y = -1 \end{cases} $

Для решения этой системы выразим $y$ из первого уравнения: $y = 5 - 2x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $8x - 3(5 - 2x) = -1$ $8x - 15 + 6x = -1$ $14x = 14$ $x = 1$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение $y = 5 - 2x$: $y = 5 - 2(1) = 3$

Таким образом, решение системы - пара чисел $(1; 3)$.
Ответ: $(1; 3)$

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3^{3x-2y} = 81 \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Представим $81$ как степень числа 3: $81 = 3^4$. $3^{3x-2y} = 3^4$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $3x - 2y = 4$

Теперь преобразуем второе уравнение. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и представим $27$ как $3^3$: $3^{6x+y} = 3^3$

Приравниваем показатели степеней: $6x + y = 3$

Теперь у нас есть система линейных уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 6x + y = 3 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 3 - 6x$

Подставим это выражение в первое уравнение: $3x - 2(3 - 6x) = 4$ $3x - 6 + 12x = 4$ $15x = 10$ $x = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3 - 6x$: $y = 3 - 6(\frac{2}{3}) = 3 - 4 = -1$

Решение системы - пара чисел $(\frac{2}{3}; -1)$.
Ответ: $(\frac{2}{3}; -1)$