Номер 236, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 236, страница 84.

Условие.

236 Решить графически неравенство:

1) $(\frac{1}{3})^x \ge x+1;$

2) $(\frac{1}{2})^x < x - \frac{1}{2};$

3) $2^x \le 9 - \frac{1}{3}x;$

4) $3^x > -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы решить неравенство $(\frac{1}{3})^x \ge x+1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x+1$.
График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{3}$ (где $0 < a < 1$), поэтому функция является убывающей. График проходит через точки $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$.
График функции $y = x+1$ — это прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.



Из графика видно, что графики пересекаются в точке $(0, 1)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне), чем график функции $y = x+1$. Это условие выполняется для всех $x$ левее точки пересечения, включая саму точку.
Таким образом, решение неравенства: $x \le 0$.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

2) Чтобы решить неравенство $(\frac{1}{2})^x < x - \frac{1}{2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x - \frac{1}{2}$.
График функции $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция, проходящая через точки $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{2})$.
График функции $y = x - \frac{1}{2}$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -\frac{1}{2})$ и $(1, \frac{1}{2})$.



Из графика видно, что графики пересекаются в точке $(1, \frac{1}{2})$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ находится строго ниже графика функции $y = x - \frac{1}{2}$. Это условие выполняется для всех $x$ правее точки пересечения.
Таким образом, решение неравенства: $x > 1$.
Ответ: $(1; +\infty)$.

3) Чтобы решить неравенство $2^x \le 9 - \frac{1}{3}x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = 9 - \frac{1}{3}x$.
График функции $y = 2^x$ — это возрастающая показательная функция, основание которой $a = 2$ ($a > 1$). График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 8)$.
График функции $y = 9 - \frac{1}{3}x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 9)$ и $(3, 8)$.



Из графика видно, что графики пересекаются в точке $(3, 8)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = 2^x$ находится не выше (то есть ниже или на том же уровне), чем график функции $y = 9 - \frac{1}{3}x$. Это условие выполняется для всех $x$ левее точки пересечения, включая саму точку.
Таким образом, решение неравенства: $x \le 3$.
Ответ: $(-\infty; 3]$.

4) Чтобы решить неравенство $3^x > -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 3^x$ и $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$.
График функции $y = 3^x$ — это возрастающая показательная функция, проходящая через точки $(-1, \frac{1}{3})$, $(0, 1)$, $(1, 3)$.
График функции $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ — это прямая, проходящая через точки $(-1, \frac{1}{3})$ и $(2, -\frac{5}{3})$.



Из графика видно, что графики пересекаются в точке $(-1, \frac{1}{3})$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = 3^x$ находится строго выше графика функции $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Это условие выполняется для всех $x$ правее точки пересечения.
Таким образом, решение неравенства: $x > -1$.
Ответ: $(-1; +\infty)$.