Номер 233, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 233, страница 84.

Условие.

233 Найти целые решения неравенства на отрезке $[-3; 3]$:

1) $9^x - 3^x - 6 > 0;$

2) $4^x - 2^x < 12;$

3) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0;$

4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x < 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $9^x - 3^x - 6 > 0$ .
Поскольку $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ , неравенство можно переписать в виде: $(3^x)^2 - 3^x - 6 > 0$ .
Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$ . Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$ .
Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$ : $t^2 - t - 6 > 0$ .
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 6 = 0$ . Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$ .
Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 > 0$ выполняется при $t < -2$ или $t > 3$ .
Возвращаемся к замене. Учитывая, что $t = 3^x > 0$ , вариант $t < -2$ невозможен. Остается только $t > 3$ .
Получаем $3^x > 3$ , что равносильно $3^x > 3^1$ .
Так как основание степени $3 > 1$ , то $x > 1$ .
Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-3; 3]$ . Целые числа на этом отрезке: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Условию $x > 1$ удовлетворяют числа 2 и 3.
Ответ: 2, 3.

2) Решим неравенство $4^x - 2^x < 12$ .
Перепишем неравенство, учитывая, что $4^x = (2^x)^2$ : $(2^x)^2 - 2^x - 12 < 0$ .
Сделаем замену переменной $t = 2^x$ , где $t > 0$ .
Получаем квадратное неравенство: $t^2 - t - 12 < 0$ .
Найдем корни уравнения $t^2 - t - 12 = 0$ . По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$ .
Решением неравенства $(t-4)(t+3) < 0$ является интервал $-3 < t < 4$ .
Выполним обратную замену и учтем условие $t > 0$ : $0 < 2^x < 4$ .
Это двойное неравенство равносильно системе $\{_{2^x < 4}^{2^x > 0}$ . Первое неравенство $2^x > 0$ верно для любого $x$ .
Решим второе неравенство: $2^x < 4$ , или $2^x < 2^2$ .
Так как основание степени $2 > 1$ , то $x < 2$ .
Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$ , удовлетворяющие условию $x < 2$ . Это числа -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1.

3) Решим неравенство $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$ .
Преобразуем первое слагаемое: $5^{2x+1} = 5^1 \cdot 5^{2x} = 5 \cdot (5^x)^2$ .
Неравенство принимает вид: $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$ .
Сделаем замену $t = 5^x$ (где $t > 0$ ) и получим квадратное неравенство: $5t^2 + 4t - 1 > 0$ .
Найдем корни уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$ через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$ .
Корни: $t_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ , $t_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ .
Решением неравенства $5(t+1)(t-1/5) > 0$ является объединение интервалов $t < -1$ или $t > \frac{1}{5}$ .
Так как $t = 5^x > 0$ , то условие $t < -1$ не имеет решений. Остается $t > \frac{1}{5}$ .
Возвращаемся к переменной $x$ : $5^x > \frac{1}{5}$ , или $5^x > 5^{-1}$ .
Так как основание $5 > 1$ , получаем $x > -1$ .
Целые решения из отрезка $[-3; 3]$ , удовлетворяющие этому условию: 0, 1, 2, 3.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

4) Решим неравенство $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x < 4$ .
Перепишем его в виде $3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 < 0$ .
Введем замену $t = 3^x$ ( $t > 0$ ) и получим: $3t^2 + 11t - 4 < 0$ .
Найдем корни уравнения $3t^2 + 11t - 4 = 0$ . Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ .
Корни: $t_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$ , $t_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Решением неравенства $3(t+4)(t-1/3) < 0$ является интервал $-4 < t < \frac{1}{3}$ .
С учетом $t > 0$ , получаем $0 < t < \frac{1}{3}$ .
Выполним обратную замену: $0 < 3^x < \frac{1}{3}$ .
Неравенство $3^x > 0$ верно для всех $x$ . Решим $3^x < \frac{1}{3}$ , или $3^x < 3^{-1}$ .
Так как основание $3 > 1$ , то $x < -1$ .
Целые решения из отрезка $[-3; 3]$ , удовлетворяющие условию $x < -1$ : -3, -2.
Ответ: -3, -2.