Номер 228, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 228, страница 83.

Условие.

Решить неравенство (228—229).

228 1) $3^x > 9;$

2) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4};$

3) $(\frac{1}{4})^x < 2;$

4) $4^x < \frac{1}{2};$

5) $2^{3x} \geq \frac{1}{2};$

6) $(\frac{1}{3})^{x-1} \leq \frac{1}{9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное неравенство: $3^x > 9$.
Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.
Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Теперь неравенство имеет вид: $3^x > 3^2$.
Поскольку основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется.
$x > 2$.
Решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$.
Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.
Представим $\frac{1}{4}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$.
Основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^x < 2$.
Приведем обе части к общему основанию, например, к основанию 2.
Выразим $\frac{1}{4}$ и 2 через степени числа 2:
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
$2 = 2^1$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$(2^{-2})^x < 2^1$
$2^{-2x} < 2^1$
Так как основание $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.
$-2x < 1$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $4^x < \frac{1}{2}$.
Приведем обе части к основанию 2.
$4 = 2^2$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Подставив, получаем:
$(2^2)^x < 2^{-1}$
$2^{2x} < 2^{-1}$.
Основание $a=2$ больше единицы, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.
$2x < -1$
$x < -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2})$.

5) Исходное неравенство: $2^{3x} \geq \frac{1}{2}$.
Приведем правую часть к основанию 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид:
$2^{3x} \geq 2^{-1}$.
Так как основание $a=2$ больше единицы, знак неравенства сохраняется.
$3x \geq -1$
$x \geq -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $(\frac{1}{3})^{x-1} \leq \frac{1}{9}$.
Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.
Получаем неравенство:
$(\frac{1}{3})^{x-1} \leq (\frac{1}{3})^2$.
Поскольку основание $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x - 1 \geq 2$
$x \geq 2 + 1$
$x \geq 3$.
Ответ: $x \in [3; +\infty)$.