Номер 225, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 225, страница 80.

Условие.

Решить уравнение (225—226).

225

1) $3^{2x + 6} = 2^{x + 3};$

2) $5^{x - 2} = 4^{2x - 4};$

3) $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2};$

4) $9^{-\sqrt{x - 1}} = \frac{1}{27}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{2x+6} = 2^{x+3}$
Преобразуем левую часть уравнения, вынеся 2 за скобки в показателе степени:
$3^{2(x+3)} = 2^{x+3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^2)^{x+3} = 2^{x+3}$
$9^{x+3} = 2^{x+3}$
Поскольку показатели степеней равны, мы можем разделить обе части уравнения на $2^{x+3}$ (это выражение никогда не равно нулю):
$\frac{9^{x+3}}{2^{x+3}} = 1$
Используем свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$:
$(\frac{9}{2})^{x+3} = 1$
Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:
$x+3=0$
$x = -3$
Ответ: $x = -3$.

2) $5^{x-2} = 4^{2x-4}$
Преобразуем правую часть уравнения. Вынесем 2 за скобки в показателе степени:
$5^{x-2} = 4^{2(x-2)}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:
$5^{x-2} = (4^2)^{x-2}$
$5^{x-2} = 16^{x-2}$
Разделим обе части уравнения на $16^{x-2}$ (это выражение никогда не равно нулю):
$\frac{5^{x-2}}{16^{x-2}} = 1$
$(\frac{5}{16})^{x-2} = 1$
Приравниваем показатель степени к нулю:
$x-2=0$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

3) $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2}$
Преобразуем левую часть, используя свойство $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:
$(2 \cdot 3)^x = 6^x$
Преобразуем правую часть, представив основание 36 как степень числа 6, то есть $36=6^2$:
$36^{x^2} = (6^2)^{x^2} = 6^{2x^2}$
Теперь уравнение имеет вид:
$6^x = 6^{2x^2}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 2x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x-1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $2x-1=0$
Решая второе уравнение, получаем: $2x=1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$.

4) $9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Приведем обе части уравнения к одному основанию — числу 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$(3^2)^{-\sqrt{x-1}} = 3^{-3}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$3^{-2\sqrt{x-1}} = 3^{-3}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$-2\sqrt{x-1} = -3$
Разделим обе части на -1:
$2\sqrt{x-1} = 3$
$\sqrt{x-1} = \frac{3}{2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x-1})^2 = (\frac{3}{2})^2$
$x-1 = \frac{9}{4}$
$x = \frac{9}{4} + 1$
$x = \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$
$x = \frac{13}{4}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 1$). Так как $\frac{13}{4} = 3.25$, а $3.25 \ge 1$, корень является действительным решением.
Ответ: $x = \frac{13}{4}$.