Номер 230, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 230, страница 83.

Условие.

230 Решить графически уравнение:

1) $(\frac{1}{3})^x = x+1;

2) $(\frac{1}{2})^x = x-\frac{1}{2};

3) $2^x = -x-\frac{7}{4};

4) $3^x = 11-x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\frac{1}{3})^x = x + 1$

Для решения уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = x + 1$. Абсцисса точки пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. График функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей. Вычислим несколько точек для построения графика:

$x$	-1	0	1
$y_1$	3	1	$1/3$

2. График функции $y_2 = x + 1$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек:

$x$	-1	0
$y_2$	0	1

Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в точке $(0, 1)$. Следовательно, решением уравнения является абсцисса этой точки, $x=0$.

Проведем проверку, подставив $x=0$ в исходное уравнение:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Правая часть: $0 + 1 = 1$.
Поскольку $1=1$, равенство верное, и $x=0$ является корнем.

Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является строго убывающей, а функция $y_2 = x + 1$ — строго возрастающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза. Таким образом, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=0$.

2) $(\frac{1}{2})^x = x - \frac{1}{2}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = x - \frac{1}{2}$. Решением уравнения будет абсцисса точки их пересечения.

1. График функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — убывающая показательная функция (основание $a = \frac{1}{2}$, $0 < a < 1$). Некоторые точки для построения:

$x$	-1	0	1
$y_1$	2	1	$1/2$

2. График функции $y_2 = x - \frac{1}{2}$ — это прямая. Найдем две точки для построения:

$x$	$1/2$	1
$y_2$	0	$1/2$

Построив графики, находим точку их пересечения $(1, 1/2)$. Абсцисса этой точки $x=1$.

Проверим найденное значение, подставив $x=1$ в уравнение:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ верное.

Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — строго убывающая, а функция $y_2 = x - \frac{1}{2}$ — строго возрастающая. Такие функции могут пересечься только в одной точке. Значит, $x=1$ — единственный корень.

Ответ: $x=1$.

3) $2^x = -x - \frac{7}{4}$

Для решения данного уравнения построим графики функций $y_1 = 2^x$ и $y_2 = -x - \frac{7}{4}$ и найдем абсциссу точки их пересечения.

1. График функции $y_1 = 2^x$ — показательная функция. Основание $a=2 > 1$, значит, функция возрастающая. Некоторые точки:

$x$	-2	-1	0	1
$y_1$	$1/4$	$1/2$	1	2

2. График функции $y_2 = -x - \frac{7}{4}$ (или $y_2 = -x - 1.75$) — это прямая. Найдем две точки:

$x$	-2	$1/4$
$y_2$	$1/4$	-2

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке $(-2, 1/4)$. Абсцисса этой точки $x=-2$.

Проверим, является ли $x = -2$ корнем уравнения:
Левая часть: $2^{-2} = \frac{1}{4}$.
Правая часть: $-(-2) - \frac{7}{4} = 2 - \frac{7}{4} = \frac{8}{4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$.
Равенство $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ выполняется.

Функция $y_1 = 2^x$ является строго возрастающей, а функция $y_2 = -x - \frac{7}{4}$ — строго убывающей. Следовательно, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Таким образом, $x = -2$ — единственное решение.

Ответ: $x=-2$.

4) $3^x = 11 - x$

Решим уравнение графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 11 - x$.

1. График функции $y_1 = 3^x$ — возрастающая показательная функция (основание $a=3 > 1$). Точки для построения:

$x$	0	1	2
$y_1$	1	3	9

2. График функции $y_2 = 11 - x$ — убывающая прямая. Точки для построения:

$x$	2	11
$y_2$	9	0

Построив графики, находим, что они пересекаются в одной точке $(2, 9)$. Абсцисса этой точки $x=2$.

Проверим найденное решение подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $3^2 = 9$.
Правая часть: $11 - 2 = 9$.
Равенство $9=9$ верное.

Так как функция $y_1 = 3^x$ — строго возрастающая, а функция $y_2 = 11 - x$ — строго убывающая, их графики могут иметь только одну точку пересечения. Следовательно, $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=2$.