Номер 229, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 229, страница 83.

Условие.

229 1) $5^{x-1} \le \sqrt{5}$;

2) $3^{\frac{x}{2}} > 9$;

3) $3^{x^2-4} \ge 1$;

4) $5^{2x^2-18} < 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^{x-1} \le \sqrt{5}$

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

Получаем неравенство: $5^{x-1} \le 5^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), то показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется:

$x - 1 \le \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \le \frac{1}{2} + 1$

$x \le \frac{3}{2}$

$x \le 1.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

2) $3^{\frac{x}{2}} > 9$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{\frac{x}{2}} > 3^2$.

Поскольку основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:

$\frac{x}{2} > 2$

Умножим обе части неравенства на 2:

$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

3) $3^{x^2-4} \ge 1$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Представим число 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.

Получим неравенство: $3^{x^2-4} \ge 3^0$.

Основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x^2 - 4 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x-2)(x+2)=0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -2]$, $[-2; 2]$ и $[2; +\infty)$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на крайних интервалах.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -2$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

4) $5^{2x^2-18} < 1$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Представим 1 в виде степени с основанием 5: $1 = 5^0$.

Неравенство примет вид: $5^{2x^2-18} < 5^0$.

Так как основание $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), показательная функция возрастает, значит, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохранится:

$2x^2 - 18 < 0$

Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-3)(x+3) < 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.