Номер 234, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 234, страница 84.

Условие.

234 Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt{25^x - 5^x}$;

2) $y = \sqrt{4^x - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Область определения функции $y = \sqrt{25^x - 5^x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Запишем и решим соответствующее неравенство:
$25^x - 5^x \ge 0$
Представим $25^x$ в виде степени с основанием 5: $25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2$. Неравенство примет вид:
$(5^x)^2 - 5^x \ge 0$
Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. Неравенство в новых переменных:
$t^2 - t \ge 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t-1) \ge 0$
Решением этого неравенства являются промежутки $t \le 0$ и $t \ge 1$. Совмещая это решение с условием $t > 0$, получаем, что $t \ge 1$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$5^x \ge 1$
Представим 1 как степень с основанием 5, то есть $1 = 5^0$:
$5^x \ge 5^0$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные нулю.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt{4^x - 1}$ область определения также задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$4^x - 1 \ge 0$
Перенесем 1 в правую часть неравенства:
$4^x \ge 1$
Представим число 1 в виде степени с основанием 4, то есть $1 = 4^0$:
$4^x \ge 4^0$
Основание степени $4$ больше 1 ($4 > 1$), поэтому показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что при переходе к показателям степеней знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$
Следовательно, областью определения функции являются все неотрицательные числа.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.